| BTS |
SUJET 2001
EXERCICE 3 ( 8 POINTS )
Partie A
Une entreprise fabrique et commercialise un produit rare.
Sa production mensuelle, qui ne peut excéder 7 tonnes, est notée X ( en tonnes ); le coût
total de cette production mensuelle est notée Y ( millions d'euros.)
On rappelle que 1 M € = 106 € .
On pose: Z = e(100 - Y ) / 25 .
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| y | 19,2 | 20,1 | 27,5 | 32,2 | 40,6 | 57,3 |
| z | 25,33 | 24,43 | 18,17 | 15,06 | 10,76 | 5,52 |
1. Calculer ,à 10- 3 près, les coefficients de corrélation linéaire entre X et Y d'une part ,
entre X et Z d'autre part et commenter les résultats.
2. Déterminer une équation de la droite de régression de Z en X.
( On arrondira chacun des coefficients à 10- 2 près. )
3. Utiliser le résultat de la question précédente pour obtenir
une expression de Y en fonction de X.
Partie B
On se propose, dans cette partie, d'étudier la fonction f, définie
pour tout x appartenent à l'intervalle [ 0 ; 7] par f( x ) = 100 - 25 ln( 31 - 4 x ).
1. Montrer que f est croissante sur [ 0 ; 7 ].
2. Tracer la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthogonal.
( Unités : 2 cm sur l'axe des abscisses et 2 mm sur l'axe des ordonnées .)
Partie C
On considère que dans cette partie la fonction f, étudiée dans la partie B, est
la fonction "coût total de production mensuelle" du produit rare fabriqué par l'entreprise
dans la partie A.
On a donc f( x ) =100 - 25 ln ( 31 - 4 x ) , avec x exprimé en tonnes et f( x ) en M €.
1. Déterminer par le calcul à quelle production mensuelle corespond un coût de 50 M €.
( Donner la réponse au Kg le plus proche.)
2. Le prix de vente d'une tonne de produit est 9 M €. La recette mensuelle totale,
en M €, fonction du nombre de tonnes vendues , est donc donnée par g( x ) = 9 x.
a. Tracer la droite représentant g sur le graphique précédent.
b. Par lecture graphique, indiquer à quel intervalle la production mensuelle x,
en tonnes , doit appartenir pour que l'entreprise réalise un bénéfice.
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Information
Partie A
1. Le coefficient de corrélation entre Y et X est : r = 0,9533
Soit r = 0,953 à 10- 3 près .
Le coefficient de corrélation entre Z et X est : r' = - 0,9893
Soit r' = - 0,989 à 10- 3 près
2. La droite de régression de Z en X avec la méthode des moindres carrés est:
Z = - 4,0906 X+ 30,8620
Soit Z = - 4,09 X+ 30,86 avec des arrondis à à 10- 2 près.
3. Obtention de Y en fonction de X.
On a: Z = e(100 - Y ) / 25 .
Donc ln Z = (100 - Y ) / 25 c-à-d 25 lnZ = 100 - Y
c-à-d Y = 100 - 25 lnZ
Mais Z = - 4,09 X+ 30, 86
D'où Y = 100 - 25 ln( - 4,09 X+ 30, 86 )
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Partie B
A présent f ( x ) = 100 - 25 ln( - 4 X + 31 ) x est dans [ 0 , 7 ]
1. f ' ( x) = - 25 ( - 4 / ( - 4 X + 31 ) ) = 100 / ( - 4 X + 31 ) Donc f ' > 0 sur [ 0 , 7 ].
f est bien croissabte sur [ 0 , 7 ].
2 . Courbe. ( Utiliser: http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.jnlp )
En bas dans la ligne de saisie de GEOGEBRA mettre y =100 - 25 ln( - 4x + 31 )
puis deux fois cliquer sur Return.
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Partie C
A présent :
f(x) = coût total mensuel en millions d'euros pour x tonnes de produit rare fabriquées.
1. Recherche de x pour f(x) = 50 millions d'euros.
f( x ) = 50 donne 100 - 25 ln( - 4x + 31 ) = 50
c-à-d 100 - 50 = 25 ln( - 4x + 31 )
c-à-d 50 / 25 = ln( - 4x + 31 )
c-à-d 2 = ln( - 4x + 31 )
c-à-d e2 = - 4x + 31
c-à-d x =( 31 - e2 ) / 4
Soit x = 6 tonnes au Kg le plus proche.
2. On sait que : 1 tonne est vendue 9 millions d'euros.
Le prix de vente de x tonnes est 9 x millions d'euros .
On le note g( x).
Le bénéfice pour x tonnes produite et vendues est donc : 9x - f(x) millions d'euros.
a. Courbe de g. En bas dans la ligne de saisie de GEOGEBRA mettre y = 9x
puis deux fois cliquer sur Return.
b . Quand la courbe de g est au dessus de la courbe de f
c-à-d , quand g( x ) ≥ f(x) , il y a alors un bénéfice
positif pour l'entreprise.
On voit que cela arrive quand x est dans [ 2,9 ; 6,3 ] tonnes.
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