Cours Suites TS sept 2013

                  Cours sur les suites          6/09/13            TS    programme 2012

             1. Principe de récurrence.( Très important )

                 Soit P une propriéte définie sur intervalled-entiers.png .

                 ( c-à-d  les  entiers supérieurs ou égaux à l'entier naturel n0 )

                 recurrenceprincipe.png

                 entraîne que 

                    conclusiondu-principe.png

               Remarque : P propriété définie sur  intervalled-entiers.png   signifie que dès que

                  n est fixé dans intervalled-entiers.png    P( n )  est une proposition soit vraie 

              soit fausse.

           2. Résolution d'une équation bicarrée.

                    Soit            a x4 + b x2 + c = 0    avec   a , b,  c trois réels et a ≠ 0.

                  Elle équivaut à

                                    bicarree.png

                  On résoud d'abord  a X2 + b X + c = 0  puis pour chaque valeur de X

                 trouvée on résoud    X = x2  .

            3. Discriminant simplifié  Δ '  .

                      Soit l'équation  a x2 + 2 b ' x + c = 0

                         avec   a , b ' , c des réels et a ≠ 0.

                       Δ = 4 b' 2 - 4 a c = 4 ( b' 2 - a c ) = 4 Δ '

                      Δ ' est le discriminant simplifié.

                    • Δ' < 0  ( c-à-d  Δ < 0 )                SIR = Ø

                    • Δ' = 0  ( c-à-d  Δ = 0 )               SIR =  { - b ' / a }

                    • Δ' > 0  ( c-à-d  Δ > 0 )               SIR =  { ( - b ' -  √Δ ') / a , ( - b ' + √Δ ' ) / a   }

                       car          ( - 2 b ' -  √(4 Δ' )) / a =  ( - b ' -  √Δ ') / a

               4.  Ecriture d'un entier naturel dans la base a ( a entier tel que a ≥ 2 )

                   Soit M un entier naturel.

                          basea.png

                          autre-methodebasea.png 

           5. Inégalité de Bernoulli.  ( Roc possible )

                 Soit   α > 0.

                     Alors     ( 1  +  α )n   ≤ 1  +  n  α 

               (   démontrée en classe par récurrence sur IN )

             6. Formules ( démontrées en exercices en classe )

                          formulesomme.png

            7.Rmarque.( Conséquence de l'inégalité de Bernouilli )

                  Soit q > 0

                Alors 

             remarque-1.png 

                ( Un réel supérieur à 1 peut se mettre sous la forme 1 + α avec  α > 0 )

             8. Résultat.

                   Soit n un entier naturel non nul.

                   La somme  des n premiers entiers naturels impairs vaut n2  .

               ( En exercice on le montre avec un raisonnement par récurrence )

                   Un entier naturel impair est de la forme 1 + 2 k  avec k dans IN.

                 sommeentiersimpairs.png

               * n = 1

                        Dans la somme il n'y a que 1.

                      1 = 12

                     Donc la formule est vraie pour n = 1

             * Soit n dans IN* quelconque.

                     Montrons que si

                        sommeentiersimpairs.png

                    alors 

                        sommeentiersimpairs-1.png

              On a:

                     sans-titrrecsuite.png

                on a la formule à l'ordre n + 1.

                 Conclusion : La formule est prouvée.

---------------------------------------------------------------------------------------

             9.Suite convergente.

                  Une suite ( u ) converge vers un réel L quand:

                  " tout intervalle ouvert qui contient L , contient

                    tous les termes de la suite ( u ) à partir d'un certain rang."

                      On note cela:                lim u = L

                                                                n → + ∞

                 Exemple:   Soit              un = 1 / n   avec n dans IN.

                                         La sute ( u ) converge vers 0.

                                         en effet:

                      Soit ] - ε , - ε [ , où ε > 0 , un intervalle ouvert contenant 0