Devoir n° 2 TS1 4 octobre 2013

  Devoir n° 2           TS1           donné le 21 sept. 2013 pour le vendredi  4  octobre 2013

           EXERCICE 1

            On note ( un ) la suite définie sur IN* par:

                     sommesuite-2.png

              1. Prouvez que pour tout n dans IN* ,

                         differencedestermes-1.png

               2. Déduisez- en le sens de variation de la suite ( un  ).

               3. Démontrer que la suite (un ) est convergente.

                                         VRAI ou FAUX

             On considère une suite ( un ) définie sur IN dont aucun terme n'est nul.

             On définit alors la suite ( vn )  par:

                                                         termegeneralvn.png            

             Pour chaque proposition, indiquez si elle est vraie ou fausse et proposez 

             une démonstration pour la réponse indiquée.

             Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera

             à fournir un contre exemple .

                     1. Si ( un ) est convergente, alors ( vn ) est convergente.

                     2. Si ( un ) est minorée par 2, alors ( vn  ) est minorée par - 1.

                     3. Si ( un ) est décroissante, alors ( vn  ) est croissante.

                     4.  Si ( un ) est divergente alors ( vn ) converge vers 0.

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             EXERCICE 2

                                       La suite ( un ) est définie par:

                               u0 = 1

                            termegeneralun-1.png       pour tout n dans IN

                          1. Prouvez que pour tout entier naturel n,  un > 0.

                          2. Prouvez que la suite ( un ) est décroissante.

                          3. Justifiez la convergence de la suite (un ).

                          4. a. Donnez les valeurs exactes des cinq premiers termes

                                  de la suite ( un ).

                                  Que pouvez-vous conjecturer concernant l'expression

                                  de un en fonction de n ? 

                              b. Démontrez votre conjecture par récurrence.

                          5. Quelle est la limite de la suite  ( un ) ?

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                    EXERCICE 3

                                La suite ( un ) est définie sur IN par:

                                    u0   = 1

                                   un + 1  = √( 3 un )  pour tout n dans IN.

                               A. Etablir que la suite ( un ) est bornée par 1 et 3 

                                   et qu'elle est croissante sur IN.

                               B. On admet, pour le moment, que 

                                               lim un = 3

                                                n → + ∞

                                        On pose :   vn = 3 - un    pour tout ndans IN.

                                     1. Vérifiez que pour tout entier naturel n,

                                                    relationvnun.png

                                    2. Démontrez que pour tout entier naturel n ,

                                          inegalitevu.png

                                    3. Démontrez, par récurrence, que pour tout entier naturel n ,

                                                       vininf.png

                                    4. Déduisez-en   lim vn       puis     lim un  .

                                                             n →   + ∞             n → + ∞

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