I I I SUITES ARITHMETIQUE

                   I I I    SUITES ARITHMETIQUES                       1S    MAI 09

                    1. Définition.   

                                                  Une suite ( un ) définie sur IN est arithmétique quand :

                                                  Il existe un réel r ( appelé  raison ) tel que

                                                      un + 1  =   un  + r           pour tout n dans IN.

                        (  Elle est parfaitement caractérisée par son premier terme et sa raison.)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

             2.  Exemple:  

              Soit la suite ( u ) de terme général  un   = 2 n + 1 pour tout n dans IN.

              Elle est arithmétique de raison  2  .

              En effet:      un + 1  =  2 ( n + 1 ) + 1 = 2 n + 1 + 2

              c-à-d         un + 1  =  un   + 2      pour tout n dans IN.

              Son premier terme est :    u0   =  1 .

              Elle est représentée par :

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

                  3. Prop.    Si la suite  ( un  )  est arithmétique de raison r  

                                  et de premier terme u0  alors son terme général est :

                                  un  = u0  + n r       pour tout n dans IN.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

                   Explication:  

                           Soit la suite arithmétique ( u ) de raison r , définie sur IN.

                         • Pour n = 0.

                            On a :    u0  = u0  + 0 r  

                         • Soit n quelconque dans IN.

                           Si   un  = u0  + n r   alors   un + 1  = un  + r  = u0  + n r  + r = u0  + ( n + 1 ) r 

  ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  

                 4. Exemple.            La suite arithmétique ( u ) de raison 7 et de premier terme 4 

                                        définie sur IN a pour terme général :    un  = 4 + 7n 

                                        pour tout n dans IN.          

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------      

                 5. Prop.  

                               Soit ( un ) une suite arithmétique de raison r définie sur IN.

                                 uk  + un - k   =  un  +  u0       pour tout entier naturel k tel que  k =< n.  

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

               Explication

                     Soit ( un ) une suite arithmétique de raison r définie sur IN.

         uk  + un - k  = ( u0  + k r ) + ( u0   + ( n - k )r  ) = u0   + u0  + n r = u0   + un  

                                 pour tout entier naturel k tel que  k =< n.  

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

             6. Prop.  

                               Soit ( un ) une suite arithmétique de raison r définie sur IN.

                               u0 + u1  + .........+ un  = (  (  u0 + un ) / 2  ) ( n + 1 )

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

             Explication:

                   Soit ( un ) une suite arithmétique de raison r définie sur IN.

        Soit      S = u0 +  u1 + .........+ un 

        Alors     S = un + un - 1  + .......+ u0 

       Par sommation membre à membre

                       2 S = (   u0 + un ) + (  u1  + un - 1  ) + .............+(  un + u0  )

     c-à-d           2 S =  (   u0 + un ) +  (   u0 + un ) + ...             +  (   u0 + un )

    c-à-d             2 S =  (   u0 + un ) ( n + 1)

                D'où         S = (  (  u0 + un ) / 2  ) ( n + 1 )

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

             7.Exemple.  Calculer  la somme des dix premiers termes de la suite

                                 arithmétique ( v ) de rason 2 et de premier terme  u0  = 1.

                Réponse:              u10  = 1 + 10 × 2

              On a :     u0 +  u1 + .........+ u10  = 11 ( 1+ 1 + 10 × 2 ) / 2

              c-à-d       u0 +  u1 + .........+ u10  = 11 ( 1+ 1 + 10 × 2) / 2 = 121

              c-à-d                u0 +  u1 + .........+ u10  = 121           

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  

            8. Prop.    

                                 Soit ( un ) une suite arithmétique de raison r définie sur IN.

                                   Si r > 0 alors   un  tend vers +∞ quand   n  tend vers +∞.

                                   Si r < 0 alors   un  tend vers - ∞ quand   n  tend vers +∞.

              Explication:  

                           On a:    un  = u0  + n r    pour tout entier naturel n.

                 •  Si r > 0 alors   lim n r  = + ∞   

                                        n → +∞

                •  Si r < 0 alors   lim n r  = - ∞

                                             n → +∞

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

           9.  Exemple: 

                                Soit     un = - 3 n + 5 pour tout n dans IN.

                   On a :        lim  un = -  ∞   car la suite est arithmétique de raison - 3 négative strictement

                                    n  →  +∞

                                   car la suite est arithmétique de raison  - 3 négative strictement .

---------------------------------------------------------------------------------