INFO 2 DS n°1 TS1 11 oct 2013

                          INFO 2    DS n ° 1 TS1    11 octobre 2013

         

          REPONSE:

            1.Calcul des premiers termes .

                            On a :   u0 =  1

                             u1 = u0 + 1  =  ( 1 / 3 ) u0  + 0 - 2  = (1 / 3)  - 2 = - 5 / 3

                             u2 =   ( 1 / 3 ) u1  + 1 - 2  = ( 1 / 3 ) × ( - 5 / 3 ) - 1= ( - 5 / 9 ) - 1 = - 14 / 9

                             u3  =  ( 1 / 3 ) u2  + 2 - 2 = ( 1 / 3 ) × ( - 14 / 9 ) = - 14 / 27

            2. Interprétons cet algorithme.

                          Il donne le premier rang n à partir duquel 

                         on a   un > A.

                       Ici pour A = 100  on a  n = 70

             3. a . Faisons une récurrence sur les entiers à partir de 4.

                               • n = 4

                               On a :

                                   u4  =  ( 1 / 3 ) u3  + 3 - 2  = ( 1 / 3 ) × ( - 14 / 27  ) + 1 = ( -14 /  81 ) + ( 81 / 81 )

                               c-à-d 

                                     u4  = 67 / 81

                               Or           67 / 81  ≥ 0

                                     Donc   u4  ≥ 0

                                L'inégalité est vraie pour n = 4.

                           •  Soit n dans IN tel que n ≥ 4  quelconque.

                            Montrons que si   un  ≥ 0   alors   un + 1  ≥ 0.

                                       On a :     un  ≥ 0

                                            et       un + 1  =  ( 1 / 3 ) un + n -  2

                                      Comme    n ≥ 4     on a    n  - 2  ≥ 0

              Ainsi   un + 1   est positif comme somme de deux réels positifs.

                                   On a obtenu l'inégalité à l'ordre n + 1   :   un + 1  ≥ 0

                              Conclusion: Le résultat est prouvé.

                           b. Donnons la limite de la suite ( un ).

                               On sait  que pour tout entier n  tel que n ≥ 5

                               on a:         un  ≥ n - 3.

                               Or     lim( n - 3 ) = + ∞

                                            n → + ∞

                          D'après un résultat de cours on en déduit :  

                              Conclusion:                       

                                            lim un = + ∞

                                            n → + ∞

           5. a . Montrons que vn + 1 = ( 1 / 3 ) vn    pour tout entier n.

                   ( C'est-à-dire montrons que la suite ( vn ) est géométrique

                      de raison  1 / 3   )

                    On sait que    vn + 1 = - 2 un + 1  + 3( n + 1 ) - 21 / 2

          Or       un + 1  =  ( 1 / 3 ) un + n - 2

                     Donc :     vn + 1 = - 2 (  ( 1 / 3 ) un + n - 2 )+ 3( n + 1 ) - 21 / 2

       c-à-d     

                      vn + 1 =( - 2 / 3 ) un  - 2 n + 4 + 3 n + 3  - 21 / 2

       c-à-d   

                          vn + 1 = ( - 2 / 3 ) un  + n + 7  - 21 / 2

        c-à-d 

                    vn + 1 = ( - 2 / 3 ) un  + n  - 7 / 2 

       c-à-d         en factorisant 1 / 3

                     vn + 1 = ( 1 / 3 )  ( - 2  un  +  3 n  - 21 / 2   )

      c-à-d   

                       vn + 1 = ( 1 / 3 ) vn    

                        Conclusion : Le résultat est prouvé.

                b. Exprimons vn  en fonction de n.

            v0   =   - 2  u0  +  3 × 0  - 21 / 2   = - 2 × 1  +  3 × 0  - 21 / 2

                c-à-d     v0   =  - 2 - 21 / 2 = - 25 /2

                Donc:

                   Conclusion :    vn   = ( - 25 / 2 ) ( 1 / 3 )n   pour tout n dans IN.

         c.  Exprimons u en fonction de n.

                   On a :    vn = - 2  un  +  3 n  -  21 / 2   d'après l'énoncé

                    D'où :      2  un   = - vn + 3 n - 21 / 2

                  Donc   en divisant par  2  il vient:

                      un   = - ( 1 / 2 ) vn  + ( 3 / 2 ) n -  21 / 4

                   c-à-d  

                       un   = - ( 1 / 2 ) ×( - 25 / 2 ) ( 1 / 3 )n   )+ ( 3 / 2 ) n -  21 / 4

                   pour tout n dans IN

                Conclusion: 

                   un   = ( 25 / 4 )× ( 1 / 3 )n   + ( 3 / 2 ) n -  21 / 4

               •   Passons à la limite:

                      lim ( 1 / 3 )n = 0      car   | 1 / 3 | < 1

                              n →  + ∞

                    et  

                              lim[  ( 3 / 2 ) n - 21 / 4 ] = + ∞

                               n →  + ∞

                   Donc   lim [ ( 25 / 4) × ( 1 / 3 )n  +( 3 / 2 ) n - 21 / 4 ] = + ∞

                                  n →  + ∞

                              c-à-d      

                    Conclusion:

                   On retrouve:     lim un  = + ∞

                                                 n →  + ∞

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