INFO EXERCICE SUR LES SUITES ADJACENTES TS Mars 2011
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EXERCICE 3
Soit les deux suites ( u ) et ( v ) interdépendantes suivantes
définies sur IN:
u0 = 1 v0 = 2
un+1 = ( 3 un + vn ) / 4 vn+1 = ( 3 vn + un ) / 4
1. Donner la nature de la suite ( vn - un ).
En déduire sa limite.
2. Montrer que la suite ( vn - un ) est à termes positifs.
3. En déduire les sens de variations des suites ( u ) et ( v ).
Sont-elles adjacentes?
4. Les suites ( u ) et ( v ) convergent- elles?
5. Soit la suite ( t ) definie sur IN par tn = vn + un
Montrer que la suite ( t ) est constante sur IN.
En déduire les limites des suites ( u ) et ( v ).
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Réponse:
1. Nature de la suite ( v - u ).
On a : vn+1 - un+1 = ( 3 vn + un ) / 4 - ( 3 un + vn ) / 4
c-à-d vn+1 - un+1 = ( 2 vn - 2 un ) / 4
c-à-d vn+1 - un+ 1 = ( 1 / 2 ) ( vn - un )
Conclusion : La suite ( v - u ) est une suite géométrique de raison 1 / 2 .
Son premier terme est : v0 - u0 = 2 - 1 = 1
Son terme général est : vn - un = 1 ( 1 / 2 )n
Comme 0 < 1 / 2 < 1 on a : lim ( 1 / 2 )n = 0
n → + ∞
Conclusion : lim ( vn - un ) = 0
n → + ∞
2. Montrons que la suite ( vn - un ) est positive sur IN.
Comme vn - un = ( 1 / 2 )n pour tout n dans IN
et ( 1 / 2 )n ≥ 0 pour tout n dans IN
on a :
Conclusion : vn - un ≥ 0 pour tout n dans IN.
3. Donnons le sens de variation des suites ( u ) et ( v ).
• Pour la suite ( u ).
On a : un+1 - un = ( 3 un + vn ) / 4 - un
c-à-d par réduction au même dénominateur
un+1 - un = ( 3 un + vn - 4 un ) / 4
c-à-d un+1 - un = ( vn - un ) / 4
Or vn - un ≥ 0 pour tout n dans IN.
Donc un+1 - un ≥ 0 pour tout n dans IN.
Conclusion: La suite ( u ) est croissante sur IN.
• Pour la suite ( v ) .
On a : vn+1 - vn = ( 3 vn + un ) / 4 - vn
c-à-d par réduction au même dénominateur
vn+1 - vn = ( 3 vn - 4 vn+ un ) / 4
c-à-d
vn+1 - vn = ( - vn+ un ) / 4
c-à-d
vn+1 - vn = - ( vn - un ) / 4
Mais vn - un ≥ 0 pour tout n dans IN.
Donc - ( vn - un ) / 4 ≤ 0 pour tout n dans IN
c-à-d vn+1 - vn ≤ 0 pour tout n dans IN
Conclusion : La suite ( v ) est décroissante sur IN.
• Regardons si les suites ( u ) et ( v ) sont adjacentes.
On a :
• • La suite ( u ) est croissante .
• • La suite ( v ) est décroissante .
• • lim ( vn - un ) = 0
n → + ∞
Donc d'après la définition du cours:
Conclusion : Les deux suites ( u ) et ( v ) sont adjacentes.
4. Regardons si les deux suites ( u ) et ( v ) sont convergentes.
On sait que les deux suites ( u ) et ( v ) sont adjacentes.
Donc d'après le cours:
Conclusion : Elles sont convergentes et ont la même limite finie L.
5. Montrons que la suite ( t ) est constante sur IN.
On a : tn = vn + un pour tout n dans IN .
Donc tn+ 1 = vn+ 1 + un + 1
Ainsi tn+ 1 = ( 3 un + vn ) / 4 + ( 3 vn + un ) / 4
c-à-d tn+ 1 = ( 4 un + 4 vn ) / 4
c-à-d tn+ 1 = un + vn = tn
Donc tn+ 1 = tn pour tout n dans IN.
Ainsi:
Conclusion : La suite ( t ) est bien constante.
On a: t0 = v0 + u0
D'où t0 = 2 + 1 = 3
Ainsi tn = 3 pour tout n dans IN.
• Trouvons le réel L , limite commune des suite ( u ) et ( v ).
lim tn = lim ( un + vn ) = L + L
n → + ∞ n → + ∞
Ainsi : 3 = 2 L
Donc L = 3 / 2
Conclusion : Les suites ( u) et ( v ) convergent vers 3/ 2
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