INFO EX 4 LISTE 2 MAI 09 1S1
EXERCICE 4
Notation: 0! = 1 par convention
1! = 1
2! = 1 × 2
3! = 1 × 2 × 3
............... etc
n! = 1 × 2 × .... × n pour tout entier naturel n >= 2 .
Ainsi : n! × ( n + 1) = ( n + 1 )! pour tout entier naturel n.
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Soit la suite ( u ) définie sur IN* de
terme général un = 2n / n! .
1. Calculer : u1 ; u2 ; u3 ; u4 .
Conjecturer le sens de variation de la suite ( u ) .
2. a. La suite ( u ) est-elle à termes strictement positifs?
b. Calculer le quotient un + 1 / un .
c. En déduire le sens de variation de la suite ( u ).
3. Etablir que :
Pour tout n >= 3 0 =< un + 1 / un =< 1 / 2
( EXTRAIT EX BAC )
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Réponse:
1. • Calcul des premiers termes.
u1 = 21 / 1! = 2 / 1 = 2
u2 = 22 / 2! = 4 / 2 = 2
u3 = 23 / 3! = 8 / 6 = 4 / 3
u4 = 24 / 4! = 16 / 24 = 2 / 3
Conclusion : u1 = 2
u2 = 2
u3 = 4 / 3
u4 = 2 / 3
• Conjecturons le sens de variation de la suite:
Comme u1 >= u2 >= u2 >= u4 on peut conjecturer :
Conclusion: La suite ( u ) est décroissante .
2. a. On a :
2n / n! > 0 car n! > 0 et 2n > 0 pour tout entier naturel non nul n.
Conclusion : OUI, la suite ( u ) est à termes positifs strictement.
b. Calculons le quotient un + 1 / un .
un + 1 / un = ( 2n+ 1 / ( n + 1 )! ) / ( 2n / n! )
c-à-d
un + 1 / un = ( 2n+ 1 / ( n + 1 )! ) ( n! / 2n )
c-à-d
un + 1 / un = ( 2n+ 1 / 2n ) ( n! / (n + 1 )! )
c-à-d Conclusion: un + 1 / un = 2 / ( n + 1 ) avec n dans IN* . c.Déduire le sens de variation de la suite ( u ). On a : n >= 1 Donc n + 1 >= 2 D'où 0 < 2 / ( n + 1 ) =< 1 pour tout entier n non nul. c-à-d un + 1 / un =< 1 pour tout entier n non nul. Conclusion : La suite ( u ) est bien décroissante sur IN* . 3. Montrons que: pour tout n >= 3 0 =< un + 1 / un =< 1 / 2 • On a déjà : 0 =< un + 1 / un pour tout entier n non nul. • On a : un + 1 / un = 2 / ( n + 1 ) pour tout entier n non nul. 2 / ( n + 1 ) =< 1 / 2 s'écrit 4 =< n + 1 c-à-d 3 =< n Ainsi un + 1 / un =< 1 / 2 quand n >= 3 On a bien l'encadrement : Conclusion: 0 =< un + 1 / un =< 1 / 2 quand n >= 3 -------------------------------------------------------------------------------------------------------