INFO EX 1 DS n° 10 1S 23 MAI 2009
EXERCICE 1 4 Points
Soit la fonction u: x → ( x + 2 ) / ( x + 1 ) définie sur l'intervalle [ 0 , + ∞[ .
1. Déterminer le sens de variation de la fonction u sur l'intervalle [ 0 , + ∞[ .
2. Soit la suite ( u ) définie sur IN par :
un = 1 + 1 / ( n + 1 ) pour tout n dans IN.
a. Préciser le sens de variation de la suite ( u ).
b. Montrer que la suite ( u ) est bornée par 0 et 2 sur IN.
c. Trouver la limite de la suite ( u ).
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Réponse:
1. Donnons le sens de variation de la fonction u.
Soit x dans [ 0 , + ∞[ .
On a : u( x ) = ( x + 1 + 1 ) / ( x + 1 )
c-à-d u( x ) = 1 + 1 / ( x + 1 )
La fonction rationnelle u est dérivable sur son domaine de définition [ 0 , + ∞[ .
On a immédiatement :
u' : x → - 1 / ( x + 1)²
Ainsi : u' < 0 sur [ 0 , + ∞[ .
Conclusion: La fonction u est décroissante strictement sur [ 0 , + ∞[ .
2. Soit la suite ( u ) définie sur IN par:
un = 1 + 1 / ( n + 1 ) pour tout n dans IN.
a. Donnons le sens de variation de la suite ( u ).
Comme ( u ) est la restriction de la fonction u à IN , la suite
( u ) a le même sens de variation .
Conclusion: La suite ( u ) est strictement décroissante sur IN.
b. Montrons que la suite ( u ) est bornée par 0 et 2 sur IN.
• La suite est à termes positifs .
En effet:
n+ 2 > 0 et n + 1 > 0 pour tout n dans IN .
Donc ( n + 2) / ( n + 1) > 0 .
c-à-d
un > 0 pour tout n dans IN.
•Montrons que 2 > un pour tout n dans IN.
Soit n dans IN .
On a : n + 1 > 1
Donc 1 > 1 / ( n + 1 )
d'où 2 > 1 + 1 / ( n + 1 ) en ajoutant 1 à chaque membre.
ainsi 2 > un pour tout n dans IN.
Conclusion: La suite ( u ) est bien bornée par 0 et 2 sur IN.
c. Trouvons la limite de la suite ( u ).
lim ( 1 + n ) = + ∞
n → + ∞
Donc lim 1 / ( 1 + n ) = 0
n → + ∞
D'où lim ( 1 + 1 / ( 1 + n ) )= 1
n → + ∞
Conclusion: La suite ( u ) converge vers 1
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