INFO EX1 LISTE 2 SUITES MAI

NFO LISTE 2 EX SUR LES SUITES           MAI 09    1S         

                                                                                      

     EXERCICE  1

                       Soit la suite récurrente ( u ) définie sur IN par: 

                u0 = 0

                un + 1  = √( 2 + un )          pour tout n dans IN.

          1. Soit ( C ) , dans un repère orthonormal du plan , la courbe de la fonction

               f : x→ √( 2 + x )   définie sur l'intervalle [ - 2 , + ∞ [.

               Soit la droite D: y = x   (   Première bissectrice )

               A l'aide de D et ( C ) représenter sur l'axe des abscisses les premiers termes de

               la suite ( u ). ( On construira pour cela un web. )                                                                                                          

      

 

               Méthode:     On place u0  sur l'axe des abscisses.

                            On monte en pointillés à partir de u0  verticalement pour rejoindre le point

                                  de ( C ) de coordonnées ( u0  ;  u1 )   avec   u1 = f( u0 ).

                            On se déplace en pointillés horizontalement jusqu'au point de D de

                                  coordonnées (  u1 ; u1  ).

                            Puis on descend en pointillés verticalement sur l'axe des abscisses

                                 en un point de coordonnées ( u1 ; 0 ).

                            Ainsi u1  est placé sur l'axe des abscisses.

                            On itère le processus pour avoir u2  puis u3  etc sur l'axes des abscisses.

                            Le maillage en pointillés qui apparaît est le Web pour la suite ( u ).

  Réponse:

                   1. Voici le web.

     etc.....

                 2.  Que peut-on conjecturer pour le sens de variation de la suite ( u ) ?

                             On peut s'apercevoir  que  u( 0 ) < u( 1 ) < u( 2 )  < u( 3 ) .

                             On peut donc conjecturer que la suite ( u ) est croissante.

                       ATTENTION .  C'est une simple présomption. On ne l'a pas montré.

                     3. La suite ( u ) vous paraît- elle convergente? Dans l'affirmative conjecturer sa limite finie.

                             On peut s'apercevoir que les premier termes de la suite ( u ) se                        

                             rapprochent de 2.

                             On peut donc conjecturer que la limite de la suite ( u ) est 2.

                             C'est une simple présomption. On ne l'a pas montré.

                     4. Etablir par récurrence que la suite ( u ) est à termes positifs sur IN.

                           • Pour n = 0.    ( AMORCE ou INITIALISATION )

                               Comme  u0 = 0   on a  u0 >= 0.

                               Le premier terme de la suite ( u ) est positif.

                           • Soit n dan IN quelconque.    ( CARACTERE HEREDITAIRE )

                              Montrons que si  un >= 0  alors  un + 1 >= 0.

                               On a :  un >= 0

                               Donc    2 + un >= 0

                               d'où     √(  2 + un  ) >= 0

                               c-à-d    un + 1 >= 0.    

                                    Conclusion : La suite ( u ) est donc à termes positifs sur IN. 

                     5. Etablir par récurrence que la suite ( u ) est croissante sur IN.

                                   Pour cela montrons que  un <   un + 1    pour tout entier n dans IN.

                               • Pour n = 0.    ( AMORCE ou INITIALISATION )

                                       On a :       u0 = 0 

                                      et       u1 =  √(  2 +  u0  ) =  √(  2 + 0 ) =  √2.

                                      Donc         u0 <   u1  .

                                      L' inégalité    un <   un + 1    est vraie pour n = 0.

                            • Soit n dan IN quelconque.    ( CARACTERE HEREDITAIRE )

                              Montrons que si   un <   un + 1     alors   un + 1 <   un + 2  .

                               On a :  0  =<  un  <   un + 1 

                               Donc    0 = < 2 + un   <  2 +  un + 1  

                               d'où    , comme la fonction  √  est croissante strictement  dans IR+  ,

                                                 √(  2 + un  )   < √ (  2 +  un + 1  )

                               c-à-d          un + 1    <     un + 2  .    

                                    Conclusion : La suite ( u ) est donc strictement croissante sur IN. 

                     6. Etablir par récurrence que la suite (u ) est majorée par 2.  

                         Pour cela montrons   un =< 2  pour tout entier n dans IN.   

                               • Pour n = 0.    ( AMORCE ou INITIALISATION )

                                  Comme  u0 = 0   on a  u0 =< 2

                                  Le premier terme de la suite ( u ) est majoré par 2 .

                              • Soit n dan IN quelconque.    ( CARACTERE HEREDITAIRE )

                                   Montrons que si  un =< 2   alors  un + 1 =< 2 

                                 On a :  0 =<  un   =<    2

                                 Donc    0 =<    2   +  un    =<    2  +  2

                                   c-à-d     0 =<   2 + un   =< 4

                                    d'où     √(  2 + un  ) =< √4    comme la fonction √  est croissante 

                                                                                    dans IR+  ,

                                   c-à-d    √(  2 + un  ) =<  2

                                   c-à-d       un + 1  =<  2.    

                          Conclusion : La suite ( u ) est donc majorée par 2  sur IN. 

                   7. On admet le résultat suivant:( Cité plus tard )

                               "Toute suite croissante et majorée converge"

                               "Toute suite décroissante et minorée converge"

                        Montrer que cette suite ( u ) converge vers un réel L.

                        La suite ( u ) est  majorée par 2  sur IN. 

                          La suite ( u ) est  strictement croissante sur IN. 

                           Conclusion:  la suite ( u ) converge vers un réel L.

                     8.  Dans quel intervalle L devra-t-il se situer?

                              L est dans l'intervalle [ 0 ; 2 ].

                     9.  L'égalité  un + 1  = f(   un )      , comme   lim un = L    ,

                                                                                                      n → + ∞

                          lim un + 1 = L    et           lim f = f( L )      

                          n → + ∞                             L

                          permet d' écrire à la limite que : L =√( 2 + L ) . 

                          Trouver alors L par le calcul. 

                                   On a :     L =√( 2 + L )  avec L dans  l'intervalle  [ 0 ; 2 ].

                                  c-à-d       L²   = 2 + L     et   L dans  [ 0 ; 2 ].

                                  c-à-d          L²  - L - 2 = 0   et   L dans [ 0 ; 2 ].

                                               - 1 est une racine évidente de  L²  - L - 2 = 0 

                                                   car    1 - 2 = - 1.

                                               L'autre racine est donc   - c / a = - ( - 2 ) / 1 = 2

                                              - 1 ne convient pas car en dehors de  [ 0 ; 2 ].

                                            Par contre 2 convient puisque 2 est dans   [ 0 ; 2 ].

                      Conclusion:   L  =  2 . 

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