EXERCICE SUR LES SUITES ADJACENTES TS Mars 2011
-----------------------------------------------------------------------------------------
EXERCICE 1
Soient les suites ( u ) et ( v ) définies sur IN* par:
un = 1 + 1 / 1! + 1 / 2! + ....................+ 1 / n!
vn = un + 1 / n!
Etablir que ces deux suites sont adjacentes.
---------------------------------------------------------------------------------------
Réponse: Trois points sont à établir pour cela.
• La suite ( u ) est croissante sur IN*.
En effet:
un = 1 + 1 / 1! + 1 / 2! + ..............+ 1 / n!
un + 1 = 1 + 1 / 1! + 1 / 2! + ............+ 1 / n! + 1 / ( n + 1 )!
Par différence membre à membre on a :
un + 1 - un = 1 / ( n + 1 )!
Donc un + 1 - un ≥ 0 pour tout n dans IN*
Conclusion: La suite ( u ) est bien croissante sur IN*
• La suite ( v ) est décroissante sur IN*.
En effet:
vn = un + 1 / n!
vn + 1 = un + 1 + 1 / (n +1 )!
Par différence:
vn + 1 - vn = un + 1 - un + 1 / (n +1 )! - 1 / n!
c-à-d
vn + 1 - vn = 1 / (n +1 )! + 1 / (n +1 )! - 1 / n!
c-à-d
vn + 1 - vn = 2 / (n +1 )! - 1 / n!
c-à-d par réduction au même dénominateur
vn + 1 - vn = 2 / (n +1 )! - ( n + 1 )/ ( n + 1 )!
c-à-d
vn + 1 - vn = ( 2 - ( n + 1 ) ) / (n +1 )!
c-à-d
vn + 1 - vn = ( 2 - n - 1 ) ) / (n +1 )!
c-à-d
vn + 1 - vn = ( 1 - n ) ) / (n +1 )!
Or 1 - n ≤ 0 pour tout n dans IN*
Donc vn + 1 - vn ≤ 0 pour tout n dans IN*
Conclusion : La suite ( v ) est décroissante sur IN* .
• lim ( vn - un ) = 0
n → + ∞
En effet comme vn = un + 1 / n! pour tout n dans IN*
on a : vn - un = 1 / n! pour tout n dans IN*.
Or lim ( 1 / n! ) = 0
n → + ∞
D'où :
Conclusion: lim ( vn - un ) = 0
n → + ∞
Finalement les deux suites sont bien adjacentes.
--------------------------------------------------------------------------------------