INFO FEUILLE PROGRAMMEE SUITES

 INFO  SUR LA FEUILLE PROGRAMMEE       1S   MAI 09

  • Calculer :     S = 2 + 3 + ..... + 100.

                On reconnaît la somme des 99 premiers termes de la suite arithmétique de raison 1

                 et de premier terme 2.

                 Donc :           2+3+..........+ 100 = (  ( 2 + 100 ) / 2  ) × 99 = 5049

         Conclusion :  S = 5049

      • Calculer  :   36     

          On a:     36   = 729

        • Calculer  :  S' = 3 + 9+ 27 + ......+ 729.

           On a:     S' = 31 + 32  + 33 +  ..... + 36 

         Donc on a la somme des 6 premiers termes de la suite géométrique de raison 3 et de premier terme 3.

          3 ≠ 1 . La raison n'est pas 1.

        On en déduit :   S' = 3  × ( 1 - 36   ) / (  1 - 3 )

        c-à-d                S' =  3  × ( 1 - 36   ) /  ( - 2 ) 

         c-à-d              S' = ( 3 / 2 ) ( 36   - 1 ) = 1092

              Conclusion :   S' = 1092

         • Soit  vn = 3n + 1  -  3n    pour tout n dans IN.   La suite ( v ) est-elle géométrique?

             On a :    vn = 3n + 1   -  3n    = 3n × ( 3 - 1 )

            c-à- d       vn = 2 × 3n       pour tout n dans IN.

           On reconnaît le terme général vn de la suite géométrique  ( v ) définie sur IN ,

           de raison  q = 3   et   de premier terme v0 = 2 .

          Conclusion :  OUI .

           • Le plan est muni d'un repère orthonormal. Soit la suite ( u ) définie par: 

                u0  = 0

                un + 1  =  ( 1 / 2 )  un   + 2    pour tout n dans IN.

             •  • Tracer les droites d'équations  y = x  et y = ( 1 / 2 ) x + 2 dans le repère . Puis placer sans

                 calcul sur l'axe abscisses les points d'abscisses  u0  ,  u1  ,  u2  ,  u3  .

                      

       •  • Que pouvez-vous conjecturer sur le sens de variation  ou la limite de la suite ?

              On voit sur l'axe des abscisses que : u( 0 ) < u( 1 )  < u( 2 ) < u( 3 ).

                     Cela constitue une présomption de suite croissante sur IN.

             On voit que les premiers termes semblent se rapprocher de la valeur 4.

                   Cela constitue une pésomption d'une limite 4 pour la suite ( u ) .

         Conclusion: Il semble que l'on puise conjectuer que la suite ( u ) est croissante et de limite 4.

        Attention : On n'a rien prouvé. Ce n'est qu'une estimation.

         •  • On pose : wn = un   - 4 .

              Montrer que la suite (  w ) est géométrique.

             On a :      wn + 1  = un + 1    -  4 .

             Or           un + 1  =  ( 1 / 2 )  un   + 2   

              Donc        wn + 1  =   ( 1 / 2 )  un   + 2    - 4

           c-à-d       wn + 1  = ( 1 / 2 ) un    -   2

               Or      un    =    wn  + 4    

                 wn + 1  = ( 1 / 2 )   ( wn  + 4     )    -   2

          c-à-d    wn + 1  = ( 1 / 2 )  wn     + 2  -  2

   c-à-d           wn + 1  = ( 1 / 2 )  wn       pour tout n dans IN.

             Conclusion:   La suite ( w ) est bien une suite géométrique de raison  1 / 2 .

                                      Son premier terme est w0  = u0   -  4 = 0 - 4 = - 4

             •  • Trouver   wn    en fonction de n .

            On a ;     wn    = u0   qn       avec   q = 1 / 2   et    u0   = - 4

             Donc    

             Conclusion :   wn    = - 4  ( 1 / 2 )n  pour tout n dans IN .

                 Comme 0 < 1 / 2 < 1      on a      lim ( 1 / 2 )n  = 0

                                                                 n→ +∞ 

            Ainsi :     lim  wn  = 0 

                            n→ +∞

             La suite ( w ) converge vers 0.