INFO SUR LA FIN DE LA LISTE D' EXERCICES SUITES MAI 09 1S
EX . 5. Soit la suite de terme général :
un = sin n / n pour tout entier naturel non nul.
1. Montrer à l’aide du th. des gendarmes qu’elle converge vers 0.
( c-à-d lim un = 0 )
n→ + ∞
2. Soit la suite de terme général :
un = n + sin n pour tout n dans IN.
Montrer qu’elle diverge vers + ∞ .
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Réponse:
1. On a : - 1 =< sin n =< 1 pour tout entier naturel n.
Donc pour tout entier naturel non nul n on a:
- 1 / n =< sin n / n =< 1 / n
Mais lim - 1 / n = lim 1 / n = 0
n→ + ∞ n→ + ∞
Donc d'après le th. des gendarmes on a :
lim sin n / n = 0
n→ + ∞
Conclusion: lim un = 0
n→ + ∞
La suite ( u ) définie sur IN• converge vers 0.
2. On a - 1 =< sin n pour tout entier naturel n.
Ajoutons n à chaque membre.
Donc - 1 + n =< n + sin n pour tout entier naturel n.
c-à-d - 1 + n =< un pour tout n dans IN .
Or lim ( - 1 + n ) = + ∞
n→ + ∞
Donc lim un = + ∞
n→ + ∞
Conclusion: La suite ( u ) diverge vers + ∞
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EX.7.
Soit la suite de terme général un = 1 / ( 2 n + 1 ) définie dans IN.
Est-elle convergente ?
( C-à-d admet-elle une limite finie? )
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Réponse:
OUI
En effet : lim 2n = + ∞ car 2 > 1 .
n → + ∞
Donc lim ( 2n + 1 ) = + ∞
n → + ∞
Ainsi lim 1 / ( 2n + 1 ) = 1 / + ∞ = 0
n → + ∞
c-à-d lim un = 0
n → + ∞
Conclusion : la suite ( u ) converge vers 0.
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EX.8. Soit les suite ( u ) et ( v ) telles que :
un = ( n - 1 ) / ( n + 1 ) et vn = 1 + 3 - n
pour tout n dans IN.
a. Donner les sens de variation de ces deux suites.
b. Montrer que lim ( un - vn ) = 0
n→ + ∞
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Réponse:
1. Sens de variation.
• Pour la suite ( u ) .
• Plusieurs méthodes
La fonction u : x → ( x - 1 ) / ( x + 1 ) est une fonction rationnelle définie sur
IR - { - 1 }.
Elle y est dérivable.
Comme u : x → 1 - 2 / ( x + 1 )
on a immédiatement u ' : x → 2 / ( x + 1 )²
u ' > 0 sur IR - { - 1 }.
u est croissante strictement sur les deux intervalles ] - ∞ , - 1 [ et ] - 1 , + ∞ [ .
Sa restriction à IN ,c'est-à-dire la suite ( u ) , est donc aussi strictement croissante sur IN.
Conclusion: La suite ( u ) est strictemrnt croissante sur IN.
• Pour la suite ( v ) .
vn + 1 - vn = 1 + 3 - (n+ 1 ) - ( 1 + 3 - n )
c-à-d vn + 1 - vn = 3 -( n+ 1 ) - 3 - n = 3 - n ( 3 - 1 - 1 )
c-à-d vn + 1 - vn = 3 - n ( 1 / 3 - 1 ) = 3 - n ( - 2 / 3 )
Mais 3 - n ( - 2 / 3 ) < 0 pour tout n dans IN .
c-à-d vn + 1 - vn < 0 pour tout n dans IN .
Conclusion :
La suite ( v ) est strictement décroissante sur IN.
2. lim un = 1 Immédiat avec la quotient simplifié des termes de plus haut degré .
n→ + ∞
lim vn = 1 car lim ( 1 + 1 / 3 n ) = 1 3 >1
n→ + ∞ n→ + ∞
Ainsi lim ( un - vn ) = 1 - 1 = 0
n→ + ∞
Conclusion: lim ( un - vn ) = 0
n→ + ∞
Les deux suites ( u ) et ( v ) sont deux suites adjacentes.
Cela signifie que l'on a les trois particularités suivantes:
• La suite ( u ) est croissante sur IN.
• La suite ( v ) est décroissante sur IN.
• lim ( un - vn ) = 0
n→ + ∞
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EX.9. Soit la suite de terme général un = ( 2 n + 1 ) / ( 3 n+ 1 - 1 )
définie sur IN .
Trouver lim un .
n→ + ∞
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Réponse: On a :
un = ( 2 n + 1 ) / ( 3 n+ 1 - 1 ) = [ 2 n ( 1 + 1 / 2 n ) ] / [ 3 n ( 3 - 1 / 3 n ) ]
c-à-d un = ( 2 n / 3 n ) [ ( 1 + 1 / 2 n ) / ( 3 - 1 / 3 n ) ]
c-à-d un = ( 2 / 3 ) n [ ( 1 + 1 / 2 n ) / ( 3 - 1 / 3 n ) ]
Mais lim ( 2 / 3 ) n = 0 car 0 < 2 / 3 < 1
n→ + ∞
De plus lim ( 1 + 1 / 2 n ) / ( 3 - 1 / 3 n ) = 1 / 3
n→ + ∞
car lim 1 / 2 n = lim ( 1 / 2 )n = 0 0 < 1 / 2 < 1
n→ + ∞ n→ + ∞
et lim 1 / 3 n = lim 1 / 3 n = 0 0 < 1 / 3 <1
n→ + ∞ n→ + ∞
Donc lim ( 2 / 3 ) n [ ( 1 + 1 / 2 n ) / ( 3 - 1 / 3 n ) ] = 0
n→ + ∞
Conclusion: lim un = 0
n→ + ∞
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EX.10. Soit la suite récurrente (u ) définie sur par :
u0 = 3
un + 1 = ( 1 / 3 ) un + 4 pour tout n dans IN.
Soit vn = un - 6 pour tout n dans IN.
a. Montrer que la suite (v ) est géométrique.
b. Etudier la convergence éventuelle des suites ( v ) et ( u ).
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a. On a : vn + 1 = un + 1 - 6 pour tout n dans IN.
Or un + 1 = ( 1 / 3 ) un + 4
Donc vn + 1 = ( 1 / 3 ) un + 4 - 6
c-à-d vn + 1 = ( 1 / 3 ) un - 2
Or un = 6 + vn
Donc vn + 1 = ( 1 / 3 ) ( 6 + vn ) - 2
c-à-d vn + 1 = ( 1 / 3 ) 6 + ( 1 / 3 ) vn - 2
c-àd vn + 1 = 2 + ( 1 / 3 ) vn - 2
c-à-d vn + 1 = ( 1 / 3 ) vn
pour tout n dans IN. Conclusion: La suite ( v ) est géométrique de raison 1 / 3. Son premier terme est v 0 = u0 - 6 = - 3
b. On a vn = - 3 ( 1 / 3 )n
Or lim ( 1 / 3 )n = 0 car 0 < 1 / 3 < 1
n→ + ∞
Donc lim - 3 ( 1 / 3 )n = 0
n→ + ∞
c-à-d
lim vn = 0
n→ + ∞
D'autre part un = vn + 6 pour tout n dans IN.
Donc lim un = lim ( vn + 6 ) = 0 + 6 = 6
n→ + ∞ n→ + ∞ lim un = 6 n→ + ∞
Conclusion: La suite converge ( v ) vers 0 . La suite converge ( u ) vers 6
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