LISTE 2 EX SUITES 1S MAI 09

 LISTE 2 EX SUR LES SUITES           MAI 09      1S

     EXERCICE  1

                       Soit la suite récurrente ( u ) définie sur IN par: 

                u0 = 0

                un + 1  = √( 2 + un )          pour tout n dans IN.

          1. Soit ( C ) , dans un repère orthonormal du plan , la courbe de la fonction

               f : x→ √( 2 + x )   définie sur l'intervalle [ - 2 , + ∞ [.

               Soit la droite D: y = x   (   Première bissectrice )

               A l'aide de D et ( C ) représenter sur l'axe des abscisses les premiers termes de

               la suite ( u ). ( On construira pour cela un web. )                                                                                                          

 

               Méthode:     On place u0  sur l'axe des abscisses.

                            On monte en pointillés à partir de u0  verticalement pour rejoindre le point

                                  de ( C ) de coordonnées ( u0  ;  u1 )   avec   u1 = f( u0 ).

                            On se déplace en pointillés horizontalement jusqu'au point de D de

                                  coordonnées (  u1 ; u1  ).

                            Puis on descend en pointillés verticalement sur l'axe des abscisses

                                 en un point de coordonnées ( u1 ; 0 ).

                            Ainsi u1  est placé sur l'axe des abscisses.

                            On itère le processus pour avoir u2  puis u3  etc sur l'axes des abscisses.

                            Le maillage en pointillés qui apparaît est le Web pour la suite ( u ).

                 2.  Que peut-on conjecturer pour le sens de variation de la suite ( u ) ?

                     3. La suite ( u ) vous paraît- elle convergente? Dans l'affirmative conjecturer sa limite finie.

                     4. Etablir par récurrence que la suite ( u ) est à termes positifs sur IN.

                     5. Etablir par récurrence que la suite ( u ) est croissante sur IN.

                     6. Etablir par récurrence que la suite (u ) est majorée par 2.

                     7. On admet le résultat suivant:( Cité plus tard )

                               "Toute suite croissante et majorée converge"

                               "Toute suite décroissante et minorée converge"

                        Montrer que cette suite ( u ) converge vers un réel L.

                     8.  Dans quel intervalle L devra-t-il se situer?

                     9.  L'égalité  un + 1  = f(  un )      , comme   lim un = L    ,

                                                                                                      n → + ∞

                          lim un + 1 = L    et           lim f = f( L )      

                          n → + ∞                             L

                          permet d' écrire à la limite que : L =√( 2 + L ) . 

                          Trouver alors L par le calcul. 

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           EXERCICE 2

              Soit la suite ( u ) de terme général   un  =  3n    -  7n     pour tout n dans IN.

              Trouver la limite finie de la suite ( u ) si elle existe.

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           EXERCICE 3

            Soit la suite ( u ) de terme général   un  = 1 / n   - 1 / ( n + 1 )

             pour tout n dans IN*  .

             Calculer la somme  u1  +  u2  + ........ +  u10  .

             Donner le sens de variation de la suite ( u ).

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             EXERCICE 4

                Notation:    0! = 1

                                      1! = 1

                                      2! = 1 × 2

                                     3! = 1 × 2 × 3            

                                       ...............           etc

                                    n!  = 1 × 2 × ....    × n      pour tout  entier naturel  n >= 2 .

                       Ainsi  :     n! × ( n + 1)  = ( n + 1 )!    pour tout entier naturel n.

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                 Soit la suite ( u ) définie sur    IN*  de

                 terme général   un  =  2n    /  n!  .

               1. Calculer :   u1   ;  u2   ;  u3 ;  u4  .

                   Conjecturer le sens de variation de la suite ( u ) .

               2. a. La suite ( u ) est-elle à termes strictement positifs?

                   b. Calculer le quotient   un + 1   /  un  .

                   c.  En déduire le sens de variation de la suite ( u ).

              3. Etablir que : 

                   Pour tout n >= 3          0  =<  un + 1   /  un   =<  1 / 2

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