NOM : ...........X.............. Prénom: .......X.......... Classe: TS1 .... Date: sept . 2013
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• Soit n dans IN et α > 0. Quelle inégalité dite de Bernoulli peut-on écrire ?
( 1 + α )n ≥ 1 + n α
• Soit la suite ( un ) définie sur IN. Comment se traduit le fait qu'elle soit croissante?
un + 1 - un ≥ 0 pour tout n dans IN
• Soit la suite récurrente ( u ) définie sur IN par : u0 = a où a est un réel fixé
un + 1 = f( un ) pour tout n dans IN
( f étant une fonction numérique )
On admet qu'elle est aussi définie par: un = g( n ) pour tout n dans IN
où g est une fonction numérique définie et monotone sur l' intervalle [ 0 , + ∞ [
contenant IN.
• • Le sens de variation de g permet-il de déterminer aussitôt celui de la suite ( un )?
OUI car g( n + 1 ) - g( n ) pour tout n dans IN conserve le même signe.
•• Le sens de variation de f permet-il de déterminer aussitôt celui de la suite ( un ) ?
NON car f peut être croissante ou décroissante sur son intervalle
de définition alors que la suite ( un ) est décroissante ou croissante.
( le changement de la valeur du premier terme peut suffire pour à changer
le sens de variation de la suite ( u ) . )
par exemple: u0 = 1
un + 1 = ( 2 un + 1 ) / ( un + 1) pour tout n dans IN.
définit une suite récurrente croissante sur IN.
Mais u0 = 2
un + 1 = ( 2 un + 1 / ( un + 1 ) pour tout n dans IN
définit une suite récurrente décroissante.
Dans les deux cas c'est la même fonction f.
Mais dans une récurrence le sens de variation de f interviendra
pour le caractère héréditaire.
• Soit P( n ) une propriété définie sur IN.
Que faut-il vérifier pour établir par récurrence que P( n) est vraie
pour tout n dans IN?
* On vérifie que P( 0 ) est vraie.
* Puis pour tout n dans IN,
on vérifie que: si P( n ) est vraie alors P( n + 1 ) est vraie.
• Que signifie: La suite ( u ) converge vers le réel L ?
Tout intervalle ouvert contenant L contient tous les termes de la suite ( u )
à partir d'un certain rang.
• Une suite peut-elle admettre deux limites finies distinctes ?
NON. En raisonnant par l'absurde on établit l'unicité
de la limite finie.
• Une suite ( un ) à termes positifs est-elle forcément croissante ?
NON.
Contre exemple: soit un = 1 / n pour tout n dans IN*
La suite ( u ) est décroissante et à termes positifs.
• Une suite ( u ) croissante diverge -t- elle toujours vers + ∞ ?
NON.
Contre exemple: Soit un = 1 - 1 / n pour tout n dans IN*
La suite ( un ) est croissante sur IN* et elle converge vers le réel 1.
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