Nom: ....... Prénom: Date : Oct 2013 Classe: TS
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*Soit la suite ( u ) définie par u0 = 6 et un + 1 = √(2 + un ) pour tout n dans IN.
1.Montrer que la suite ( u ) est minorée par 2 sur IN.
Montrons le par récurrence sur IN.
• n = 0
On a : u0 = 6 et 2 ≤ 6
Donc 2 ≤ un pour n = 0.
• Soit n dans IN quelconque.
Montrons que si 2 ≤ un alors 2 ≤ un + 1
Considérons : 2 ≤ un
Alors 2 + 2 ≤ 2 + un
Mais la fonction √ est croissante sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [
Donc √ 4 ≤ √( 2 + un )
c-à-d 2 ≤ un + 1
On a obtenu l'égalité à l'ordre n + 1
Conclusion : On a bien montré que la suite ( u ) est minorée par 2 sur IN.
2. Montrer que la suite ( u ) est décroissante sur IN.
Pour cela montrons par récurrence que un + 1 ≤ un pour tout n dans IN.
• n = 0
On a : u0 = 6 et u1 = √( 2 + 6 ) = √8 = 2 √2
Ainsi u1 ≈ 2,8
Comme 2,8 ≤ 6 on a bien un + 1 ≤ un pour n = 0
• Soit n dans IN quelconque.
Montrons que si un + 1 ≤ un alors un + 2 ≤ un + 1
Considérons : un + 1 ≤ un
Alors 2 + un + 1 ≤ 2 + un
On sait aussi que 2 ≤ un + 1
Donc 0 ≤ 2 + un + 1 ≤ 2 + un
Comme la fonction √ est croissante sur[ 0 , + ∞ [
on a:
√ ( 2 + un + 1 ) ≤ √( 2 + un )
c-à-d un + 2 ≤ u n + 1
On a l'inégalité à l'ordre n + 1.
Conclusion : La suite ( u ) est bien décroissante sur IN.
3. La suite ( u ) converge-t-elle ?
La suite (u ) est décroissante et minorée sur IN.
Donc , d"après un résultat de cours:
Conclusion : La suite ( u ) converge.
En outre sa limite est supérieure ou égale à 2
4. Soit L un réel tel que L ≥ 2 et L = √( L + 2 )
Trouver L.
L = √( L + 2 ) avec L ≥ 2
se traduit par :
L2 = L + 2 et L ≥ 2
c-à-d
L2 - L - 2 = 0 et L ≥ 2
Résolvons l'équation avec la condition.
- 1 est une racine évidente de L2 - L - 2 = 0 car 1 + 1 - 2 = 0
mais - 1 ne convient pas à cause de la condition.
Le produit des racines est: c / a.
Ainsi l'autre racine est:
- c / a = - ( - 2 ) / 1 = 2
Elle convient car 2 ≥ 2
Conclusion : L = 2
5 .Pour n très grand que peut-on dire de la suite ?
On peut dire:
Conclusion: L a suite ( u ) converge vers 2
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