Explications ludiques sur le raisonnement par récurrence

Utilité ludique du raisonnement par récurrence

                              PRESENTATION DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE  

1.   Imaginons que l'on veuille prouver que l'on peut monter un escalier dont la hauteur 

  des marches est 15 cm,  jusqu'à l'infini.

  Il suffit de procéder en deux temps.

      a. Je vérifie que je suis capable de mettre mes pieds sur la marche située au niveau du sol.

      b. Un ami m'a confectionné en bois deux marches de 15 cm de hauteur.

         Je vérifie qu'ayant mis mes pieds sur la plus basse de ces deux marches je peux me hisser

          sur la marche du dessus.

 C'est terminé.

 Je peux dire que je suis capable de monter un escalier dont la hauteur des marches 

  est 15 cm jusqu'à l'infini.

  C'est un raisonnement par récurrence.

2. Explication:

        Le a) constitue l'amorce ou l'initialisation

        Le  b) constitue  le caractère héréditaire ou la transmission.

3. Application en mathématique.

     Établir qu'une formule mathématique définie sur l'ensemble des entiers

     naturels IN, est vraie pour n'importe quel entier naturel.

     Il peut arriver qu'une récurrence soit possible et utile.

     On raisonne en deux temps.

        •  On vérifie que la formule est vraie pour le premier entier naturel  0 

        •  On considère un entier naturel que l'on ne connait pas, désigné par la lettre n ( c-à-d quelconque )

           Alors on vérifie que si la formule était vraie pour cet n alors elle serait vraie pour n + 1 

    On peut alors conclure que la formule est vraie pour tout entier naturel de IN.

      C'est un raisonnement par récurrence sur IN.

      4.   EXEMPLE DE RÉCURRENCE SUR IN:                       Rec1 1                                                         

5.   AUTRE EXEMPLE DE RÉCURRENCE SUR IN* :Rec2

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