. INFO EX 2 FIN DS n° 6 TS2 13/02/12
Suite de l'exercice 2 du devoir surveillé.
4. On considère la suite ( d ) définie pour tout entier naturel n par d(n) = v(n ) - u(n).
a. Montrer que la suite (d ) est une suite géométrique.
Soit n quelconque dans IN.
On a : d( n+1) = v( n + 1 ) - u( n+1)
c-à-d d( n+1) = (3 / 4 ) v( n ) + 1 / 4 - ( ( 3 / 4 ) u( n) + 1 / 4 )
c-à-d d( n + 1 ) = ( 3 / 4 )× ( v( n ) - u( n ) ) + 0 = ( 3 / 4 ) d( n)
c-à-d d( n + 1 ) = ( 3 / 4 ) d( n ) pour tout n dans IN
De plus d( 0 ) = v( 0 ) - u( 0 ) = 2 - 0 = 2
c-à-d d( 0 ) = 2
Conclusion:
La suite ( d ) est géométrique de raison 3 / 4 et de premier terme d( 0 ) = 2
b. Donner l'expression de d( n ) en fonction de n.
D'après le cours on a :
Conclusion : d( n ) = 2 ×( 3 / 4 )n pour tout n dans IN.
5. En utilisant les résultats des questions 3.b et 4. b donner l'expression de u( n ) et v( n )
en fonction de n.
d(n ) = v(n) - u( n )
s( n ) = u(n ) + v( n )
Donc:
par somme d(n ) + s( n ) = 2 v( n )
par différence s( n ) - d( n ) = 2 u( n )
c-à-d d'après les valeurs trouvées pour s( n ) et d( n )
2 × ( 3 / 4 )n + 2 = 2 v( n)
et 2 - 2 × ( 3 / 4 )n = 2 u( n )
c-à-d en divisant par 2
( 3 / 4 )n + 1 = v( n)
et 1 - ( 3 / 4 )n = u( n )
Conclusion: v( n ) = ( 3 / 4 )n + 1
u( n ) = 1 - ( 3 / 4 )n pour tout n dans IN
6. Montrons que les suites ( u ) et ( v ) convergent .
Préciser leurs limites.
• L'interprétation la plus rigoureuse de l'énoncé consiste
à distinguer la justification de la convergence de la recherche de la limite finie.
On peut ici établir que la suite (v ) est décroissante car à terme positifs et de raison 3/4
comprise entre 0 et 1.
On peut établir que la suite ( u ) est croissante
car 1 - ( 3 / 4 )n+1 - ( 1 - ( 3 / 4 )n ) = ( 3 / 4 )n ( 1 - ( 3 / 4 ) )
u(n + 1 ) - u( n ) = ( 1 / 4 ) ( 3 / 4 )n pour tout n dans IN
c-à-d u(n + 1 ) - u( n )> 0 pour tout n dans IN
De plus lim ( v( n ) - u( n ) ) = lim d( n ) = 0
n→ + ∞ n→ + ∞
car
0 < 3 / 4 < 1 implique lim ( 3 / 4 )n = 0
n → +∞
Conclusion : Les deux suite ( u ) et ( v ) sont adjacentes .
Elles convergent et on la même limite finie
Or ici: lim ( ( 3 / 4 )n +1 ) = 0 + 1= 1
n→ + ∞
c-à-d lim v( n ) = 1
n→ + ∞
Donc : lim vn = 1 = lim u
n→ + ∞ n→ + ∞
Conclusion : Les deux suites convergent vers 1.