INFO EX 1 BB13 / 1 / 11

              INFO EXERCICE 1   BAC BLANC   DU 13 JANVIER 2011    TSTG1  

   EXERCICE 1      5 POINTS 

                             Le plan est rapporté à un repère orthonormal  ( O ; vect( i ) , vect ( j ) ).

                                 ( Unité graphique : 1 mm )

            1.  Représenter l’ensemble des points M( x , y ) du plan dont les deux coordonnées

                 x et y  vérifient le système suivant :

                                            x + 2 y ≤ 300

                           ( I  )            4 x + 3 y ≤ 625

                                              0  ≤ x  ≤ 100

                                               0 ≤  y  ≤  140

          2. Une entreprise fabrique des téléviseurs et des ordinateurs.

              Elle utilise dans la fabrication de ces appareils deux types de composants électroniques ;

              Le composant de type A  et le composant de type B.        

             •     La production d’un téléviseur nécessite 5 composants de type A et 4 composants de type  B.

             •     La production d’un ordinateur nécessite 10 composants de type A et 3 composants de type B.

             •     Pour des raisons d’approvisionnement, les consommations mensuelles ne peuvent excéder

                    1500 composants de type A et 625 composants de type B.

             •     Par ailleurs , la situation de l’entreprise sur le marché ne lui permet pas d’écouler plus

                   de 100 téléviseurs et 140 ordinateurs chaque mois.

              •    Le bénéfice réalisé est de 100 euros  pour la vente d’un téléviseur et de 150 euros

                   pour celle d’un ordinateur.

            a.   Soit x le nombre mensuel de téléviseurs que produit l’entreprise et soit y

                  celui d’ordinateurs.

                  Ecrire les inéquations exprimant les contraintes de production dans la fabrication

                 des téléviseurs et des ordinateurs.

            b.    Quel est donc le domaine graphique qui traduit les contraintes ?

                   ( On utilisera la première question. )

            c.    Exprimer en fonction de x et y le bénéfice réalisé pour la vente de x téléviseurs et de y

                   ordinateurs.

                   Ce bénéfice peut-il être de 15 000 euros ? de 30 000 euros ?

                   On justifiera graphiquement les réponses.

            d.    En expliquant la démarche suivie, déterminer graphiquement la quantité de téléviseurs

                   et la quantité d’ordinateurs à produire pour que le bénéfice soit maximal.

                   Quel est le montant de ce bénéfice ?  

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       Réponse:

                 1. Le système :                       

                                              x + 2 y ≤ 300

                           ( I  )              4 x + 3 y ≤ 625

                                              0  ≤ x  ≤ 100

                                               0 ≤  y  ≤  140

                   se traduit par:

                                   y ≤ - 0, 5 x + 150

                     ( I  )        y ≤  - ( 4 / 3 )x  + 625 / 3                                 

                                   0  ≤ x  ≤ 100

                                   0 ≤  y  ≤  140

               D'après la forme y ≤ a x + b  des deux premières inégalités, il

             apparaît que la zone bonne est en dessous au sens large des droites

             D:  y = - 0, 5 x + 150   et   D' :  y =  - ( 4 / 3 )x  + 625 / 3 .  

              De plus comme    0  ≤ x    et     0 ≤ y  la zone bonne est dans la premier quadran.

             Enfin comme x  ≤ 100 et   y  ≤  140  la zone bonne  est  à gauche de la droite

              verticale D" : x = 100   et au dessous de la droite horizontale D '''' : y = 140  au sens large.   

                Figure :

        2.a.   Le système des contraintes est :

                        5 x + 10 y   ≤  1500     contrainte sur les composants dec type A.

                        4 x + 3 y  ≤ 625            contrainte sur les composants dec type B.   

                          0  ≤ x    et     0 ≤ y     x et y dans IN

            Enfin        x  ≤ 100       contrainte d'écoulement  de téléviseurssur le marché

                     et   y   ≤ 140        contrainte d'écoulement  des ordinateurs sur le marché

              Cela donne :       x + 2 y ≤ 300         en divisant par 5

                                          4 x + 3 y  ≤ 625                                               

                                            0  ≤ x  ≤ 100        x et y entiers

                                             0 ≤  y  ≤  140

         b. C'est le système ( I ) de la première question que l'on a avec x et y dans IN.

                     On a donc déjà le domaine graphique obtenu dans la première question.

                   Les points à coordonnées entières de la zone bonne ont leur coordonnées ( x , y )

                  qui sont les solutions.

         c. Le bénéfice pour la vente de x téléviseurs et y ordinateurs est :

               B = 100 x + 150 y

            Ce qui s'écrit :   y = - (100 / 150 ) x + B / 150

                         c-à-d      y = - ( 2 / 3 ) x + B / 150

                • Considérons B = 15 000 euros.  

                     y = - ( 2 / 3 ) x + B / 150   devient     y = - ( 2 / 3 ) x + 15 000 / 150

                    c-à-d     y = - ( 2 / 3 ) x + 100

                  Sur le graphique la droite d'équation   y = - ( 2 / 3 ) x +100

                  passe bien par au moins un point de la zone bonne à coordonnées entières.

                  Il est possible d'avoir un bénéfice de 15 000 euros.

                  • Considérons B = 30 000 euros.  

                        y = - ( 2 / 3 ) x + B / 150   devient     y = - ( 2 / 3 ) x +30 000 / 150

                   c-à-d     y = - ( 2 / 3 ) x + 200

                       Or sur le graphique la droite d'équation   y = - ( 2 / 3 ) x + 200

                       ne passe par aucun point de la zone bonne.

                    Il est impossible d'avoir un bénéfice de 30 000 euros.

              d.    Traçons par exemple la droite corespondant à un bénéfice de 3000 euros.

                     Son équation est :      y = - ( 2 / 3 ) x +  3000  /150                

                       c-à-d       y = - ( 2 / 3 ) x +  20

                   Faisons glisser cette droite en maintenant sa direction

                   sur le graphique vers les haut

                  tant qu'elle passe par au moins un point de la zone bonne à coordonnées entières.

                 En position ultime elle passe par le point de coordinnées ( 70  ; 115 ) noté b sur le graphique.

                 Donc c'est pour  x = 70 et  y = 115 que la bénéfice sera maximal.

               Ce bénéfice sera donc de :    70  ×100 + 115 × 150 =  24250 euros

             Le bénéfice maximal est 24 250 euros.