INFO NOM : ......... PRENOM: ........... CLASSE: ............. DATE : .................
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I. COURS.
• Quel est le domaine de définition de la fonction ln ? ] 0 , + ∞ [
• Que vaut ln ( 1 ) ? 0
• La fonction ln est-elle dérivable dans IR ? NON
• Que vaut ln ' ( x ) avec x dans le domaine de dérivabilité de ln ? ln ' ( x ) = 1 / x avec x > 0
• Quel est le sens de variation de la fonction ln ? Srictement croissante sur ] 0 , + ∞ [
• ln( 2 ) est-il positif ? négatif ? nul ? ln( 2 ) > 0 car 2 > 1
• Quel est le signe de ln( x ) quand x est dans ] 0 ; 1 [ ? Négative strictement
• Quel est le signe de ln( x ) quand x est dans ] 1 ; + ∞ [ ? Positive strictement
• Quelle condition doit-on imposer à x pour pouvoir parler de ln( x + 2 ) ? x + 2 > 0 c-à-d x > - 2
• Soit a > 0 et b > 0 . Que vaut ln( a ×b ) ? ln( a ) + ln( b )
Que vaut ln( a ) - ln ( b ) ? ln( a / b )
Que vaut ln ( 1 / a ) = ? - ln ( a )
Soit n un entier naturel.
Que vaut ln ( an ) ? n ln( a )
Que vaut ln( √ a ) ? 0, 5 ln( a )
• Soit la fonction f : x → ln( a x + b ) avec a réel non nul et b un réel.
Quelle est la fonction f ' sur l'ensemble des réels x tels que a x + b > 0 ? f ' : x → a / ( a x + b )
• Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de la courbe
de la fonction ln avec l'axe des abscisses? ( 1 ; 0 )
• La courbe de la fonction ln rencontre-t- elle l'axe des ordonnées ? NON
• Soit u une fonction définie, dérivable, strictement positive
sur un intervalle I.
Quelle est la dérivée de la fonction x → ln ( u( x ) ) ? u ' / u
II. APPLICATION.
Pour chacune des fonctions f suivantes donner
le domaine de définition , la fonction dérivée f ' ,
le signe de f ' , le tableau de variation de f.
• f; x → x ln( x ) - x
• • Df = ] 0 , + ∞ [
• • Soit x > 0 .
On a : f ' ( x ) = 1 ln( x ) + x ( 1 / x ) - 1
c-à-d f ' ( x ) = ln( x ) + 1 - 1 = ln ( x )
Donc f ' ( x ) = ln( x ) avec x > 0
• • f ' est du signe de ln dans ] 0 , + ∞ [.
f ' ( x ) = 0 ssi x = 1
f ' ( x ) > 0 ssi x > 1
f ' ( x ) < 0 ssi 0 < x < 1
• • Tableau de variation de f :
| x | 0 1 + ∞ |
| f '( x ) | || - 0 + |
| f( x ) | || ↓ - 1 ↑ |
• f : x → ln( - 2 x + 3 ).
• • - 2 x + 3 > 0 s'écrit 3 > 2 x c-à-d x < 3 / 2
Df = ] - ∞ , 3 / 2 [
• • f ' ( x ) = - 2 / ( - 2 x + 3 ) avec x < 3 / 2
• • f ' ( x ) < 0 pour tout x < 3 / 2
• • Tableau de variation :
| x | - ∞ 3 / 2 |
| f '( x ) | - || |
| f( x ) | ↓ || |
( Les courbes sont facultatives )
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