INFO EX BAC SPE 29 MARS 2012

   INFO   EX BAC BLANC ES spé   29 MARS 2012     Antilles–Guyane  juin 2000        

                EXERCICE 2            5 points

                              Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

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         1. Soit la  fonction f, définie sur IR par:     f(x) = 80 +a ebx.

             Déterminer les réels a et b pour que la courbe représentative de f , dans un repère, passe par les points

             A(0 ; 53) et B(3 ; 60).

             Réponse:   

            • A(0 ; 53)  sur la courbe de f  se traduit par :   f( 0 ) = 53

                 c-à-d    53 = 80 + a ×e0   

                c-à-d      53- 80 = a                  sachant que e0 = 1

                 c-à-d  

                      Conclusion :     - 27 = a   

           • B(3;60) sur la courbe de f se traduit par:     f(3) = 60

              c-à-d      60 = 80 - 27  e3b 

             c-à-d      27 exp( 3b ) = 20

             c-à-d       exp( 3 b ) = 20 / 27

              c-à-d     3b = ln( 20 / 27)

              c-à-d

                       Conclusion : b = ( 1 / 3 ) ln( 20 / 27 )

           Donner les valeurs exactes, puis une valeur arrondie à 10−1 près pour b.

                Conclusion:  a  = - 27  et  b ≈ - 0,10

         2. Dans une entreprise, on installe un nouvel atelier. Pendant la période de «mise en route », la production

            le n-ième jour (n, entier naturel non nul) est donnée par :

                                                     Un = 80 − 27e− 0,1n     unités.

            ( a ) Montrer que la suite (Un ) est strictement croissante.

                  Réponse:

               On a    un = f( n)   pour tout entier naturel n non nul.

               Il nous suffit donc d'étudier sur IR+  la fonction f.

               Soit u : x → - 0,1 x 

               On a :   f = 80 - 27 eu

               La fonction u est définie et dérivable sur les réels positifs.

                    u ' : x → - 0,1 

             Donc la fonction f l'est également.

               f ' = - 27 u ' eu

             Comme  exp >0 sur IR

             on a  f ' qui est du signe de  - u' : x → 0,1 

             Or  u ' > 0 sur [ 0, + ∞[ 

             Donc  f ' > 0 sur  [ 0, +∞ [ 

             f est strictement croissante sur  [ 0, +∞ [ 

             Conclusion: La suite ( un ) est strictement croissante sur IN*.

            ( b ) Au bout de combien de jours la production dépassera-t-elle les 72 unités ?

               Réponse: 

                    Considérons l'inégalité :   un  > 72   avec n dans IN*.

                     c-à-d        80 - 27 exp( - 0,1 n ) > 72

                     c-à-d       80 - 72 > 27 exp( - 0, 1 n )

                     c-à-d       8 / 27 > exp( - 0, 1 n )  

                     c-à-d      ln( 8 / 27 ) > - 0, 1 n      sachant que ln est croissante sur IR*+

                     c-à-d    en multipliant par - 10 chaque membre 

                      c-à-d        - 10 ln( 8 / 27 ) < n

                    Comme   - 10 ln( 8 / 27 ) ≈ 12,16

                   Le plus petit n est donc n =13

              Conclusion: C'est le 13 ième jour que la production dépasse 72 unités

          3. On pose : Vn = e− 0,1n    (n, entier naturel non nul).

              ( a ) Montrer que ( Vn )  est une suite géométrique dont on donnera la raison et la limite.

              Réponse:

              •   On a :   vn + 1  =  e− 0,1( n + 1 )  =   e− 0,1 n - 0,1  

                Donc     vn + 1  =  e- 0,1   ×e− 0,1 n 

                c-à-d       vn + 1  =  e- 0,1   × vn       pour tout n dans IN*

        Conclusion : La suite ( v ) est bien géométrique de raison q = e- 0,1

            •   On a:   e- 0,1    ≈   0,90

                 Comme  0 <  e- 0,1  < 1          lim ( e− 0,1  ) n   = 0

                                                               n  → + ∞

                  Conclusion:       lim vn = 0

                                                n  → + ∞

                  ( b ) Calculer S =V1 +V2 +...+V12.

                À la suite d’une avarie, l’atelier doit être arrêté après 12 jours de fonctionnement.

               Quelle est la production totale obtenue pendant cette période ? Donner une valeur arrondie à l’unité.

                 Réponse: 

                    La production totale obtenue pendant ces 12 jours est  

                      V1 +V2 +...+V12      notée  S

                          v 1  =  e- 0,1

                    La raison   e- 0,1    de la suite géométrique  ( vn  ) n'est pas 1.

                   Donc :

                           S = v1  (  ( 1 - ( e- 0,1  ) 12    )  / ( 1 -  e- 0 , 1    )    

           c-à-d 

                           S = e- 0,1 (   1 - ( e- 0,1  ) 12    )  / ( 1 -  e- 0 , 1    ) 

           c-à-d 

                          S =   ( 1 - e-1, 2    )  / [ e 0,1( 1 -  e- 0 , 1    )  ]  

          c-à-d   

                        S =   ( 1 - e-1, 2    )  / ( e 0,1  -  1    )    

                           S  ≈   6,644

         Conclusion :   La production totale pendant la péroide est:  S ≈  6   unités                  

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