Feuille n° 3
Ensemble des nombres complexes de module 1,
noté souvent U . U est donc inclus dans C .
ACTIVITE :
Soit le polynôme P( z ) = z3 – z2 + z – 1 pour tout z dans C
1.Factorisez P(z ) par z – 1
2. Résoudre l'équation P( z ) = 0 dans C.
3.Les solutions de l'équation P( z ) = 0 sont-elles dans U ?
4.Soient trois éléments distincts a, b , c de U qui vérifient
simultanément:
a + b + c = 1
et a b c = 1
Quelles égalités peut-on en déduire avec les conjugués de a , b , c ?
5. Sachant que le conjugué d'un élément de U est son inverse, en déduire que :
a b + b c + c a = 1
6. Soit le polynôme Q( z ) = z3 – ( a + b + c ) z2 + ( a b + b c + c a ) z – 1
pour tout z dans C .
Vérifier que Q ( z ) = (z – a ) ( z – b ) ( z – c ) pour tout z dans C.
7. Que peut-on dire de P( z ) et Q( z ) pour tout z dans C ?
8. Déterminer l'ensemble { a , b ,c }.
9. On note A , B , C , D , quatre points du plan complexe muni d'un repère
orthonormal direct d'origine O, d'affixes respectivement ,
a , b , c et – 1 .
Que permettent de former ces quatre points dans le plan complexe ?
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