AIDE DV n°4 du 08 novembre 2014 TS1
Vous pouvez vous inspirer de l'exercice n ° 5 suivant
EX.5
Soit z = 1 + i et z ' = 1 + i √3 deux nombres complexes.
1. Mettre z et z' sous une forme trigo.et sous forme exponentielle.
2. Donner la forme algébrique et une forme trigo. de z z' .
3. En déduire que :
cos ( 7 π / 12 ) = ( 1 - √3) / ( 2 √2 )
et sin( 7 π / 12 ) = ( 1 + √3 ) / ( 2 √2 )
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Réponse:
1. On obtient facilement:
• z = 1 + 1 i
On a : | z | = √2
On pose: cosα = 1 / √2
sin α = 1 / √2
On obtient α = π / 4 ( 2 π )
d'où:
conclusion : z = √2 ( cos( π / 4 ) + i sin( π /4 ) ) = √2 e iπ / 4
• z ' = 1 + i √3
On a : | z ' | = 2
On pose:
cosα = 1 / 2
sin α = √3 / 2
On obtient α = π / 3 ( 2 π )
d'où:
Conclusion : z ' = 2 ( cos ( π / 3 ) + i sin( π / 3 ) ) = 2 e i π / 3
2. Puis à partir des formes exponentielles et du cours :
• Le module du produit z z ' est le produit des modules de z et z '.
• Un argument du produit z z ' est la somme d'un argument de
z et d'un argument de z ' à un multiple de 2 π près.
Donc: z z ' = 2√2 e7 π i / 12
Ainsi une forme trigo. de z z ' est :
conclusion: z z ' = ( 2 √2 ) ( cos ( 7 π / 12 ) + i sin( 7 π / 12 ) )
D'autre part directement à partir des formes algébriques de z er z' :
on a : z z ' = ( 1 + i ) ( 1 + i √3 ) = ( 1 - √3 ) + i ( 1 + √3 )
c-à-d
Conclusion: z z ' = ( 1 - √3 ) + i ( 1 + √3 )
3. Conséquence:
On a deux écritures algébriques de z z ' :
• L'une à partir des formes algébriques de z et z' .
z z ' = ( 1 - √3 ) + i ( 1 + √3 )
• L'autre à partir de la formes trigo. de z z'
z z ' = ( 2 √2 ) cos ( 7 π / 12 ) + i ( 2 √2 ) sin( 7 π / 12 ) )
Sachant que deux nombres complexes égaux ont la même partie réelle
et la même partie imaginaire on a :
1 - √3 = ( 2 √2 ) cos ( 7 π / 12 )
1 + √3 = ( 2 √2 ) sin( 7 π / 12 ) )
c-à-d
Conclusion: cos ( 7 π / 12 ) = ( 1 - √3) / ( 2 √2 )
et sin( 7 π / 12 ) = ( 1 + √3 ) / ( 2 √2 )
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