DS n° 2 TS Samedi 27 octobre 2012

                             DS     n° 2     27 octobre 2012           TS1

        EXERCICE 1   ( Exercice de Bac) 

            Soient les nombres complexes :

                 z1 = 1 + i    et    z2  = 1 + i √ 3    

             1. Mettre sous la forme exponentielle les nombres

                 complexes suivants :

                             z1  ,  z2   ,     z1  × z2 .

             2. Donner de deux manières la forme algébrique de  z1  × z2 .

             3. En déduire les valeurs exactes de   

                   cosetsin.gif      .

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           EXERCICE 2

                     Le plan est muni d’un repère orthonormal

                       repouv.gif .

                      Soit z un nombre complexe distinct de 3.

                       On pose z = x + i y .                                   

                       Soit

                                  zquot.gif

       1.Trouver en fonction de x et y la forme algébrique de Z.

       2.Soit  ( Γ ) l’ensemble de points M d’affixe z du

          plan  tels que  Z soit  un réel.

          Trouver et représenter  ( Γ ).

       3. Soit  ( E ) l’ensemble des points M d’affixe z du plan

          tels que Z  soit un imaginaire pur c’est-à-dire .

          Trouver et représenter ( E ).

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         EXERCICE 3

                 Le plan est muni d’un repère orthonormal

                        repouv.gif

                 Soit le polynôme

                    polydez.gif   

              où  z est un nombre complexe quelconque.

      1. Trouver une racine évidente du polynôme P( z ) .

      2. Trouver trois réels a , b , c  tels que :

                     polyfac.gif

           pour tout 

                  zdansc.gif .

      3.  Résoudre l’équation P( z ) = 0 dans 

             grandc.gif.

           Donner les racines sous la forme algébrique et

            trigonométrique.

     4. Soit les points A , B , C  d’affixes respectivement   - 1  ; i  ;  - i.

         a. Faire une figure .

         b. Trouver  une forme exponentielle du quotient  

                    .quotzabsurzac.gif

         c. En déduire  une mesure de l’angle

              anglevect-ac-ab.gif  .

             Que peut-on dire alors du triangle ABC ?

     5. Soit le polynôme    

             polyl-z.gif

            pour tout nombre complexe z et tout

           nentiernonnul.gif .

            a. Dans le cas où

                 zdiffde1.gif   

              exprimer L( z ) comme un quotient.

            b. Dans le cas où | z | < 1  que peut-on dire de

              liml-z.gif   ?

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                              Bon courage

                            Bonnes vacances