MATHS EXPERT Février 2022
THEME : ENSEMBLE DE MANDELBROT
Dans la marine, " La Royale " sur le pont supérieur d'un navire, il y a les officiers de pont,
en bel uniforme, et dans les soutes, il y a les mécaniciens en blouse qui font fonctionner
les machines.
C'est un peu la même chose pour l'ensemble de MANDELBROT.
Les points de cet ensemble forment de belles arabesques coloréees, " fractales",
très artistiques, mais pour chacun d'eux il y a un ensemble associé de points,
que l'on ne représente pas, sous conditions contraignantes.
EXPLICATION:
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct d'origine O.
Deux étapes sont considérées pour définir cet ensemble:
• À chaque nombre complexe c on associe la suite récurrente suivante:
Z0 = 0
Zn+1 = ( Zn ) 2 + c pour tout n dans IN
• Si cette suite associée ( Zn ) est bornée sur IN, alors on accepte le point N( c ) d'affixe c
comme élément de l'ensemble de MANDELBROT , sinon on le refuse.
En pratique, on regarde si l'on a : | Zn | < 2 pour tout n dans IN.
REMARQUE :
Cette définition est doublement abstraite, puisque la condition de bornage fait que pour qu'un point
N ( c ) soit accepté, il faut que l'ensemble des points M( Zn ) d'une suite de points associée soient
dans un disque de centre O et de rayon fini.
Pour chaque nombre complexe c, cet ensemble accessoire de points M( zn ), lui, n'est pas représenté
ni un disque éventuel qui le contient.
On dispose de l'informatique pour visualiser en partie cet ensemble des points N( c ) retenus.
Graphiquement les points N( c ) obtenus sont tels que :
− 2,1 < Re( c ) < 0,6
et −1,2 < Im( c ) < 1,2
Remarque :
Regardons,par exemple si le point N ( 0 ) , c-à-d O, est dans l'ensemble de MANDELBROT .
Considérons la suite associée à 0 :
Z0 = 0
Zn+1 = ( Zn )2 pour tout n dans IN est bornée
Comme 02 = 0 , tous les termes de la suite ( Z n ) vont être nuls .
( On peut le montrer par une récurrence facilement )
On a : Zn = 0 pour tout n dan IN
La suite ( Z n ) est bien bornée car elle est constante.
Donc, le point N( 0 ) , c-à-d l'origine O, est dans l'ensemble de MANDELBROT.
Cela serait fastidieux, même impossible, refaire cette recherche pour chaque
nombre complexe c dans C.
Par contre l'ordinateur peut s'en charger partiellement .
Donc, on utilise un algorithme en Python pour cela.
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