INFO 2 ACTIVITE SUITE COMPLEXE

                     INFO 2  ACTIVITE SUITE COMPLEXE                MATHS EXPERT               février 2022 

         6. Quand  n est pair, c’est-à-dire, quand n  s’écrit sous la  forme 2p

            où p est dans IN, donner la forme algébrique de Zn en fonction de n.

          Quand n est impair, c’est-à-dire, quand n  s’écrit sous la  forme 2p + 1

          où p est dans IN, donner la forme algébrique de Zn en fonction de n.

          •Cas : n= 2 p      où p est dans IN                     p = n / 2

             On a :         in = i2p =(  i2 )p = (– 1 ) p = ( – 1 ) n/2        En reportant dans   Zn =  ( 2 + 2 i )  i n  – 2  – 2 i    

           Il vient   :       Zn =  ( 2 + 2 i )  ( – 1  )n/2  – 2  – 2 i    

           c-à-d      :       Zn =  2 ( – 1  )n/2  – 2  + 2 i (– 1  )n/2  – 2 i    

              Conclusion :  :       Zn = [  2 ( – 1  )n/2  – 2 ] + i [ 2 (– 1  )n/2  – 2  ]       si n pair

          •Cas: n = 2 p + 1       où p est dans IN            p = ( n – 1 )/2

                On a :  :         i n  = i2p+ 1 =(  i 2 ) p i = (– 1 ) p   i = (– 1 )n-1/2  i 

                 Donc   :       Zn =  ( 2 + 2 i )  (– 1  )(n – 1 )/2   i   – 2  – 2 i     en reportant dans Zn

                  c-à-d                 Zn =  –  2  (– 1  )( n – 1 ) /2   – 2  +  2 i  (– 1 )( n – 1 ) /2   – 2 i 

              Conclusion :    Zn =  –  2  (– 1  ) ( n – 1 ) /2   – 2 +  i [ 2    (– 1 ) ( n – 1 ) /2   – 2  ]         si n impair

       7.Exprimer an et bn en fonction de n suivant la parité de n.

            •  n pair          an =  2 (– 1  )n/2  – 2                et    bn = [ 2 (– 1  )n/2  – 2  ]  

            •   n  impair      an =  –  2  (– 1  ) ( n – 1 ) /2   – 2                     et    bn = [ 2  (  (– 1 ) ( n – 1 ) /2   – 2  ] 

       8. Cas particulier : n = 50       Vérifier à l’aide des formules trouvées  que :

            Z50 = – 4 – 4 i

          On a :  :       Z50 = [  2 (– 1  )50/2  – 2 ] + i [ 2 (– 1  )50/2  – 2  ]  

          Donc :       Z50 = [  2 (– 1  )25  – 2 ] + i [ 2 (– 1  )25  – 2  ]  

           Comme   (– 1  )25    = – 1               25 étant impair

         On a:   Z50 = – 2 – 2 +  i [– 2 – 2 ]   = – 4 – 4 i

             Conclusion: Le résultat est avéré   

       9. Falcultatif: Le plan est muni d’un repère orthonormal direct d’origine O..

             Soit les points  Mn+1  et  Mn  d’affixes respectives Zn+1 et  Zn .

             Soit le point A d’affixe   ZA = – 2 ( 1+ i )

       Montrer que le point Mn+1 ( Zn+1) est l’image du point Mn(Zn ) par la rotation de centre A et d’angle  ∏ / 2 .  Figure point suite complexe

           Info : La rotation de centre A et d’angle  ∏/ 2  est de traduction complexe :

               Z ‘– ZA = i ( Z – Z A )    avec le point M’( Z ‘ ) l’image du point M ( z )

        Vérifions que:         Zn+1  + 2 ( 1+ i ) = i ( Zn  + 2 ( 1+ i ) )    c-à-d     Zn+1  =  i Zn  –  2( 1+ i )  + 2i ( 1+ i )

          On a:      –  2 ( 1+ i )  + 2 i ( 1+ i ) =  –  2 –  2 i  + 2 i –  2 = –  4     et       Zn+1 = i Zn  –  4     pour tout n dans IN

                     Conclusion : Le résultat est avéré

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