INFO ACTIVITE 1

                               MATHS.   EXPERT                                INFO  ACTIVITE 1.

                     Soit la suite récurrente définie sur IN par :

                       Z0 = 2   et     Zn+1 = i Zn + 1+ i     pour tout n dans IN

            1.Déterminer  Z1 , Z2, Z3 , Z4.

                 On a  :    Z1 = i Z0 + 1 + i  = 2 i + 1 + i

                 c-à-d            Z1 =  1 + 3 i    

                On a:          Z2= i Z1 + 1 + i = i ( 1 + 3 i ) + 1 + i = i – 3  + 1 + i

                 c-à-d             Z2= – 2 + 2 i  

                On a:        Z3 = i Z2 + 1 + i = i ( – 2 + 2 i ) + 1 + i =   – 2  i – 2  + 1 + i

                c-à-d              Z3 = – 1 – i   

                On a:       Z4 = i Z3 + 1 + i = i ( – 1 – i ) + 1 + i =   – i + 1 + 1 + i =  2

                c-à-d              Z4 = 2 = Z0

          2. Que peut-on en déduire ?

              On peut envisager que :      Zn+ 4 = Zn      pout tout n dans IN

         Récurrence sur IN :

  • Pour n = 0

On a :   Z0 + 4 = Z4 = Z0          Donc   Z0 + 4 =  Z0 

C’est donc  vrai pour n = 0

  • Soit n dans IN quelconque.

Montrons que si            Zn+ 4 = Zn   alors     Zn + 1+ 4 = Zn + 1   

On a :    Zn+ 5 = Zn + 4 + 1 

 Mais    Zn + 4 + 1  =   i Zn+ 4  + 1 + i           par définition de la suite ( Zn)

Comme   Zn+4 = Zn       Il vient    Zn + 5 = i Zn  + 1 + i 

 Mais      Zn +1 = i Zn  + 1 + i                par définition de la suite ( Zn)

Donc    Zn + 5 = Zn +1         c-à-d         Zn + 1+ 4 = Zn + 1   

Conclusion : L’égalité est bien démontrée sur IN.

         3. Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct , soit les points

 Mn d’affixes Zn pour tout n dans IN.  Placer les points  M0, M1 , M2, M3 , M4 .

               On a :    Figure suite de points

        4. Soit le point A d’affixe i. Etablir que le point Mn+1 est  l’image du point Mn par

le quart de tour direct r de centre A pour tout n dans IN.

Le quart de tour direct r de centre A est la rotation de centre A et d’angle  ∏ / 2.

Méthode 1 rapide : (   limite du programme Maths Expert )

 Cette rotation r ( A , ∏ / 2 )  a pour traduction complexe :

                Z’ – ZA = i (  Z – ZA )      avec le point M(Z ‘ ) image du point M( Z )

Il suffit donc de vérifier que :         Zn+1 – i = i ( Zn – i )  pour tout n dans IN.

   c-à-d  que  :             Zn+1 = i Zn + 1 + i      pour tout n dans IN,   sachant  i2   = –  1

  Or par définition de la suite récurrente  ( Zn ) on a :

                        Zn+1 = i Zn + 1 + i       pour tout n dans IN

        Conclusion : Le résultat est bien avéré sur IN..

Méthode 2 longue : ( Plus dans le programme basique actuel   )

 Les points  Mn , Mn+1 et A sont distincts .  Il suffit donc de vérifier

 AMn+1 = AMn    et  (AMn , AMn+1 ) = ∏ / 2     mod ( 2 ∏ )     pour tout n dans IN 

 On a par hypothèse  de l’énoncé :      Zn+1 = i Zn + 1 + i  pour tout n dans IN

 c-à-d         Zn+1  –  i = i Zn  + 1         pour tout n dans IN .   Mais   1 =  – i2        

Donc  :          Zn+1  – i =  i Zn    –  i2   = i ( Zn – i )        en factorisant i

 c-à-d           Zn+1 – i    = i ( Zn – i )         pour tout n dans IN. 

Avec   ZA = i     il vient :  

        Zn+1 – ZA = i  ( Zn – ZA )        pour tout n dans IN.     (  égalité   1 )   

  • On a:      AMn   =  | Zn – ZA |    et     AMn+1 =  | Zn+1 – ZA | et | i |= 1

L’égalité ( 1 ) implique:

| Zn+1 – ZA |= |  i ( Zn – ZA ) | = | i | | Zn – ZA | = 1 | Zn – ZA|    pour tout n dans IN

   c-à-d                   AMn + 1   = AMn

  •  De plus l'égalité  ( 1 ) implique  :   

       (AMn , AMn+1 ) = arg( (   Zn+1 – ZA ) /  (   Zn – ZA   ) )     ( 2 ∏ )

    Donc  :            (AMn , AMn+1 ) = arg( i )        (2 ∏)

  •  c-à-d   :     (AMn , AMn+1 ) = ∏ / 2      ( 2∏ )

             Conclusion : On a bien  Mn+1 = r( Mn )    pour tout n dans IN

          5.Que peut-on en déduire pour le quadrilatère Mn, Mn+1 , Mn+2, Mn+3 ?

              Ce quadrilatère a ses diagonales de même milieu A , de même longueur et orthogonales.

C’est donc un carré. 

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