INFO 1 ACTIVITE SUITE COMPLEXE MATHS EXPERT février 2022
Soit la suite récurrente complexe ( Zn ) définie sur IN par : ( pour les autres questions voir l'INFO 2 )
Z0 = 0
Zn+1 = i Zn – 4 pour tout n dans IN
Soient deux suites réelles ( an ) et ( bn ) telles que
Zn = an + i bn pour tout n dans IN
1. Exprimer Zn+1 en fonction de an et bn.
On a : Zn+1 = i Zn – 4 = i ( an + i bn ) – 4 = i an – bn – 4 pour tout n dans IN
Conclusion : Zn+1 = – bn – 4 + i an pour tout n dans IN
2.Ecrire Zn+1 en fonction de an+1 et bn+1.
Conclusion : Zn = an+1 + i bn+1 pour tout n dans IN
3. En déduire an+1 et bn+1 en fonction de an et bn.
On a : Zn+1 = – bn – 4 + i an = an+1 + i bn+1 pour tout n dans IN
Donc, par identification des parties réelles et des parties imaginaires on a :
Conclusion : an+1 = – bn – 4 et bn+1 = an pour tout n dans IN
4. Soit le nombre complexe particulier W = – 2 – 2 i .
On considère la suite auxiliaire complexe ( Un ) définie sur IN par :
Un = Zn – W pour tout n dans IN.
• Indiquer U0.
U0 = Z0 – W = 0 – (– 2 – 2 i ) = 2 + 2 i
Conclusion : U0 = 2 + 2 i
•La suite ( Un ) est-elle géométrique ? arithmétique ?
On a : Un+1 = Zn+1 – W = i Zn – 4 – ( – 2 – 2 i )= i Zn – 2+ 2 i
Or Zn = Un + W = Un – 2 – 2 i
Donc : Un+1 = i ( Un – 2 – 2 i ) – 2 + 2 i = i Un – 2 i + 2 – 2 + 2 i = i Un
c-à-d Un+1 = i Un pour tout n dans IN.
Conclusion :
La suite complexe ( Un ) est géométrique de raison i et de premier terme : U0 = 2 + 2 i
• En déduire Un en fonction de n.
Conclusion : Un = ( 2 + 2 i ) in pour tout n dans IN
5.Exprimer alors Zn en fonction de n.
On a : Zn = Un – 2 – 2 i = ( 2 + 2 i ) i n – 2 – 2 i
Conclusion: : Zn = ( 2 + 2 i ) in – 2 – 2 i pour tout n dans IN
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