INFO FEUILLE n ° 2 COMPLEXES TS OCT 2012

               INFO LISTE n° 2 D'EXERCICES   NOMBRES COMPLEXES   TS  OCT 2012          

      EXERCICE 1 

         1. Soient des réels x , y ,  , r avec r > 0 .

           Etablir que:   

          2. Mettre les nombres complexes z suivants sous la forme trigonométrique 

                                           où     r = | z |      

           puis représenter les points images.     

          a.   z = - 1 + i √3           b.        z = 1 + i              c.    z =  √2  -  i√2  

          d.       z =  3√2 i       e.    z = - 3         f.     z = 4      g.      z = - 2 i

            METHODE : 

                  Calculer | z | . Constater que | z |  ≠  0  .  Poser

                      Avec le cercle trigo trouver un réel   qui convienne.

                      Ecrire alors 

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          REPONSE :

       1. Montons l'équivalence c'est-à-dire deux implications.

    Conclusion: L'équivalence est avérée.

          2.Recherche des formes trigonométriques.

           a.   Soit   z = - 1 + √3

                        On reconnaît   z = 2 j     

          b.    z = 1 + i 

    c.    z = √2 - i √2 

         d.     z = 3 √2i

      e.    z = - 3 

           On a:        | z | =| - 3 | =  3 

              Ainsi:          z =  3 ( - 1 + 0 i  )

             Comme on sait que      cos π = - 1   et   sin π  = 0     ( trivial )

             il vient       z = 3 (  cos π   + i sin π  )     

          Conclusion :

                   Une forme trigonométrique de z est

                     z = 3 (  cos π   + i sin π  )         

         f .    z = 4

             On a :   | z | = 4

             Ainsi      z =  4 ( 1 + 0 i )

             Comme on sait    cos 0 = 1   et sin 0 = 0     ( trivial )

            il vient :    z = 4 ( cos 0 + i sin 0 )

        Conclusion :

                   Une forme trigonométrique de z est

                     z = 4 (  cos 0   + i sin 0  )         

       g.   z = - 2 i 

             On a :       | z | = | - 2 i | =| - 2 | × | i | = 2  × 1 =  2

             Ainsi          z =  2 (  0  -  i  )

              On sait que      cos (- π / 2 ) = 0    et  sin  (- π / 2 ) = - 1

            Donc    z = 2 (   cos ( - π / 2 ) + i  sin  ( - π / 2 )   ) 

       Conclusion :

                   Une forme trigonométrique de z est

                     z = 2 (  cos ( - π / 2 )   + i sin ( - π / 2 )  )         

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     EXERCICE 2.

                 1. Quelle est la forme algébrique de 1 / i     ?

                 2.    Donner la forme trigonométrique   du nombre complexe

                3. Donner la forme trigonométrique   du nombre complexe

                                                                                                     
                   
         ( On pourra d'abord mettre le numérateur et le dénominateur sous la forme trigonométrique )    

                4. Mettre le nombre complexe        z = ( 1 + i ) ( - 1+ i √3 )  

                    sous la forme trigonométrique

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          REPONSE :

       1 .  Directement:

        2. D'après le cours:

      3. Dans l'exercice précédent on a vu que :

              Donc pour le quotient on a :

                                      Pour l'inverse on a :

               4.  On a :

                          z = ( 1 + i ) ( - 1+ i √3 )  

                     Ainsi :   

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         EXERCICE 3

                       ( Extrait d'exercice de bac )

                       Le plan est muni d'un repère orthonormal direct:

                      ( Unité graphique  4 cm ) 

                      Soit le polynôme   L( z ) = z³ + 3 z²  + 3 z -  63     où  z est

                      dans l'ensemble des nombres complexes.      

                     1. Calculer L( 3 ).

                     2. Résoudre L( z ) = 0   dans l'ensemble des nombres complexes.      

                         On donnera la forme algébrique et la forme trigonométrique des

                         solutions.

                     3. Placer dans le plan  les points  K( 1 + i ) , F ( 1 - i )  et  E( - i√3 ).

                         Soit le point Q image du point E par la symétrie centrale

                          de centre F.

                          Donner l'affixe de Q. 

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     REPONSE:

              1. Calcule de L( 3 ).

               2.  Résolutionde L( z ) = 0.

                    On a déjà une racine du polynôme L( z ) qui est 3.

                    Ainsi L ( z ) est factorisable par z - 3

                   Méthode de la division:

        Ainsi    L( z ) = ( z - 3 )(   z²   + 6 z  + 21 )

             Résolvons   z²   +  6 z  + 21= 0

                             Δ ' = b ' ²  - ac

          c-à-d        Δ ' = 3²  - 21 = 9 - 21 = - 12

                          Δ '  < 0

        Les deux racines complexes sont:

        On a  :

             L( z ) = 0   ssi   ( z - 3 )(   z²   + 6 z  + 21 ) = 0

c-à-d

             L( z ) = 0   ssi   z = 3 ou  z²   + 6 z  + 21  = 0

c-à-d      L( z ) = 0    ssi    z = 3  ou   z = - 3 - i √12    ou   z = - 3 + i √12 

           Ainsi:

                On a les formes algébriques.

                Donnons des formes trigonométriques approchées.

          4. Représentation de trois points.

             Recherche de l'affixe du point Q.

                             z_F = ( z_E + z_Q ) / 2    car F est le milieu du segment [ E Q ]

                    Donc        z_Q = 2 z_F   - z_E 

                   c-à-d       z_Q =  2( 1 - i ) - ( - i√3 ) = 2 - 2 i + i√3

             Conclusion:         z_Q =  2 + i( √3  - 2 )

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 EXERCICE 4            

             Le plan est muni d'un repère orthonormal direct:

           Soit z un nombre complexe différent de - 1 .

            On pose :

           1. Trouver et représenter l'ensemble de points M( z ) du plan tels 

                 que Z soit un imaginaire pur c'est-à-dire 

            2. Trouver et représenter l'ensemble de points M( z ) du plan tels 
                   que Z soit un réel.

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       REPONSE :

               1. Recherche de l'ensemble des points  M( z ) du plan tels  que

                    .

                   Soit z = x + i y avec ( x , y ) ≠ ( - 1 ; 0 ).

                    On a : 

                         Ainsi  

                            se traduit par 

            2.Recherche de l'ensemble de points M( z ) du plan tels 
                   que Z soit un réel.

                       Z est dans IR si et seulement si

            Conclusion: L'ensemble est le cercle de centre B( - 1 / 2 ) et de rayon 1 / 2

                                 privé du point A( - 1).

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            EXERCICE 5        

               Le plan est muni d'un repère orthonormal direct:

                 Déterminer et représenter l'ensemble des points M(z) du plan

                  tels que | z + 2 - 3 i | = | z+ 1+ i |

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    REPONSE:

               Soit les points A( - 2 + 3 i ) et B( - 1 - i ) et M( z ) dans le plan.

                     |z + 2 - 3 i | = | z+ 1+ i |    s'écrit   | z - ( - 2 + 3 i ) | = | z - ( - 1 -  i ) |

                c-à-d 

                         | z - z_A | = | z - z_B |   

                Cela se traduit géométriquement par 

                              AM = BM

             Conclusion:

            L'ensemble cherché est donc la médiatrice du segment [AB].

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           EXERCICE 6

                 Soit P(z) une polynôme à cœfficients réels .

                 Soit z₀  un nombre complexe non réel   tel que P( z₀) = 0.

                  Donner alors une autre racine de P(z) sans calcul.

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           REPONSE:

                  On a   P( z₀) = 0 .

                   Donc   

            Conclusion :

               Une autre racine de P(z) est 

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            EXERCICE 7

                Résoudre  dans l'ensemble des nombres complexes 

                       z²  = 1 + i  

               (  On pourra écrire les trois égalités:

                    •   module de z²   est égal  à module de  1 + i

                    •  Re( z²   )   est égal à Re( 1 + i )

                    •  Im( z²   )   est égal à Im( 1 + i )            )

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       REPONSE:

                Soit z = x + i y 

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             EXERCICE 8              

                   Le plan est muni d'un repère orthonormal direct:

                      Le point C( - 1 - i ) appartient-il à la droite du plan 

                     passant par les points  A( 1 + 3 i ) et B( - 2 - 3 i )  ?   

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            REPONSE:

            D'autre part

         On constate que 

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              EXERCICE 9          

                Le plan est muni d'un repère orthonormal direct:

                Soit les points du plan A( 1 + 3 i ) , B( 3 + i ) et  C( 4 + 2 i ).

                1. Trouver la forme algébrique et la forme trigonométrique du quotient :

               2.  Représenter les points A , B et C.

                    Que peut-on dire du triangle ABC ?

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      REPONSE:

          On a:

                 On a :   2 i = 2 ( cos( π / 2 ) + i sin ( π / 2 ) )

                  Conclusion :

               2. Le triangle ABC est rectangle en B.

                   En effet:

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              EXERCICE 10

             1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes  z³  = 1 .

              2. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes  

                   ( On remplacera z par x + i y . On utilisera le fait 

                     qu'un nombre complexe est nul si et seulement si

                           sa partie réelle est nulle

                          et sa partie imaginaire est nulle. )

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               REPONSE:

                  1. Le travail est pratiquement déjà fait.

                       1 convient car    1³ = 1

                       On a vu que  j³  = 1  dans  le cours.

                       On donc aussi :     

               Conclusion:

         2. Résolution  de 

                Soit z = x+ i y

            L'équation s'écrit:

                      c-à-d