INFO DS n°2 8 / 11/ 2013

          DS n ° 2             TS1       8 novembre 2013                   2 heures     

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    EXERCICE 1

             Le plan est muni d'un repère orthonormal ( direct ):

          Soit le polynôme:    

                           P(z) = z³  + 3 z² + 3 z - 63          où z est un nombre complexe.

           1. Calculer P( 3 ).

           2. Trouver trois nombres réels a , b , c  tels que :

                   P( z ) = ( z - 3 ) ( a z² + b z + c )    pour tout nombre complexe z.

           3. Résoudre l'équation P( z ) = 0 dans l'ensemble des nombres complexes

           4. Soit les points  A , B , C d'affixes respectives   z_A  = 3  ,  z_B  = - 3 + 2 i √3    ,   z_C   = - 3 - 2 i √3 .

                Placer ces points dans le repère orthonormal du plan.

           5. Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z du plan tels que | z + 3 - 2 i √3 | =  | z + 3  + 2 i √3 |  .

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          REPONSE:

            1.Calculons P( 3 ).

                   On a:           P( 3 ) =  3³  + 3 × 3² + 3 × 3 - 63

                   c-à-d            P( 3 ) = 27 + 27 + 9 - 63 = 63 - 63 = 0

                  Conclusion :  P( 3 ) = 0

          2. Recherches des trois réels a , b , c.

               P( z ) est factorisable par z - 3 car 3 en est une racine.

               Posons la division pour z ≠ 3 :        

                     Ainsi :       z³  + 3 z²   + 3 z   - 63  = ( z - 3 ) (   z²   +  6 z  + 21  )   

              Conclusion:    a = 1           b = 6        c = 21  

        3. Résolvons P( z ) = 0.

               On a :   P( z ) = 0   ssi  z = 3    ou     z²   +  6 z  + 21   = 0

              Résolvons   z²   +  6 z  + 21  = 0

                          Δ ' = b ' ²  - a c            avec b ' = 3   

             Donc:    Δ ' = 9 - 21 = -  12 

                               Δ ' < 0

            Les racines sont :

                 ( - b ' - i √| Δ' | ) / a = - 3 - i √12  =  - 3 - 2 i √3

          et      ( - b ' + i √| Δ' | ) / a = - 3 + i √12  =  - 3 + 2 i √3

                  Conclusion:  L'ensemble solution de P( z ) = 0 est

                         SC  =  { 3 ;    - 3 - 2 i √3   ;   - 3 + 2 i √3  }

       4. Représentons les points A , B et C dans le repère.

                5. Déterminons l'ensemble demandé.

                      Considérons :   | z + 3 - 2 i √3 | =  | z + 3  + 2 i √3 |  

                       c-à-d

                                        | z - ( - 3 + 2 i √3 ) | =  | z - ( - 3  - 2 i √3 )  |  

                     c-à-d      

                                         | z - z_B | =  | z - z_C |  

                   Cela se traduit par B M = CM

                 L'ensemble cherché est donc l'ensemble des point M du plan

                situés à égale distance des points B et C.

               Conclusion : L'ensemble cherché est la médiatrice du segment [BC]                             

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         EXERCICE 2

                   Soit les nombres complexes  non nuls:

                                     z₁ = 1 + i √3   et    z₂ = 1 + i    .

                   1. Donner la forme algébrique du quotient:

                   2. Donner les formes trigonométriques et exponentielles de   z₁   et   z₂ .

                       En déduire la forme exponentielle puis trigonométrique de : 

                       Montrer qu'en conséquence:

                   3. En raison de l'unicité de la forme algébrique établir que :

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  REPONSE:

                 1. Donnons la forme algébrique .

                            On a : 

                 2. Donnons la forme trigonométriques et exponentielles de z₁ et z₂  .

                       •  On a :   | z₁ | = √ ( 1² + ( √ 3 )² )  = √ 4 = 2 

                                      Donc

                           Considérons :

                                   On peut envisager :  θ = π / 3  

                           Donc:  

                          Conclusion :                                     

                              c-à-d

                    • On a :        | z₂ | = √ ( 1² + 1² )  = √ 2

                              Donc :

                      Considérons:

                     On peut envisager:

                     Donc:

                   Conclusion :

                 • Montrons :

                    On a :

         3. Trouvons les deux formules:

                 L'idée est que    a + i b = a' + i b' 

                  se traduit par  a = a ' et  b = b'

            On a ici :

            En multipliant chaque membre par

                            on obtient:

                Conclusion :

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             EXERCICE 3

               Soit les points  A ( 1 + 3 i )  , B ( 3 + i ) et  C( 4 + 2 i ) du plan

                muni d'un repère orthonormal

                     1. Etablir que:

                         Les points A , B et C sont-ils alignés ?

                     2. Donner un argument du nombre complexe non nul :

                     3. Déterminer l'affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

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        REPONSE:

                      1. Montrons que:

                      On a :

                 Ainsi:

                       Conclusion:           On a bien:

                  Mais   2 i  n'est pas un réel.

                 On peut donc en conclure:

                    Conclusion:

                  Non. Le points A ,B , C ne sont pas alignés.

                 2. Donnons un argument de 

                     Cela revient à donner un argument de  2 i.

                              i est de module 1.

                      Donc.

                            Un argument de  2 i est aussi

                         Conclusion:

          3. Donnons l'affixe du pont D.

               On veut que la quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.

              Cela se traduit par :

               c-à-d

                   D est l'image du point C par la translation de vecteur