INFO DS n° 2 TS 27 oct. 2012

                 INFO     DS     n° 2     27 octobre 2012           TS1

        EXERCICE 1   ( Exercice de Bac) 

            Soient les nombres complexes :

                 z1 = 1 + i    et    z2  = 1 + i √ 3    

             1. Mettre sous la forme exponentielle les nombres

                 complexes suivants :

                             z1  ,  z2   ,     z1  × z2 .

                Réponse:

                   On a:  ( Déjà vu en classe)     | z1  | = |  1 + i |  = √ ( 12 + 12 ) = √2

                                           Ainsi :       z1  =  √2    (   1 / √2   + i     1 / √2     )

                                           Or  on sait que           cos( π / 4 )  =  sin (  π  / 4  ) = 1 / √2

                                                              Conclusion:   z1 = 1 + i  = √2 ei π / 4

                   On a :                 |  z2  |  =   | 1 + i √ 3 | = √(   12  +  ( √3  )2  )  = √4  =  2

                                                        Ainsi:          z2   =   2  (  ( 1 / 2)   + i  (√3  / 2)   )

                                                Considérons :     cos θ = 0,5

                                                                                sin θ  = √3  / 2

                                                Ainsi                       θ = π / 3  ( 2 π  )         

                                                  Conclusion:          z2  =  2   ei π / 3                    

                  Donc     z1  × z2    =   √2 ei π / 4     2   ei π / 3    =  2 √2  ei ( (π / 4) + (π / 3 ) )  =  2 √2   ei 7π / 12  

                Conclusion  :   z1  × z2    =2√2 ei 7π / 12

              2. Donner de deux manières la forme algébrique de  z1  × z2 .

                              z1  × z2  =  ( 1 + i   ) × ( 1 + i √ 3 )  = 1 - √ 3 + i    ( √ 3 + 1) 

                                 z1  × z2  =  2 √2   ei 7π / 12    = 2 √2  cos ( 7π / 12 ) + i ×  2  √2  sin ( 7π / 12 )

             3. En déduire les valeurs exactes de   

                   cosetsin.gif      .

                      L'égalité des parties réelles et l'égalité des parties imaginaires donnent.

                          sinetcos.gif                                 

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           EXERCICE 2

                     Le plan est muni d’un repère orthonormal

                       repouv.gif .

                      Soit z un nombre complexe distinct de 3.

                       On pose z = x + i y .                                   

                       Soit

                                  zquot.gif

       1.Trouver en fonction de x et y la forme algébrique de Z.

          Réponse:

            On a : 

             zquot.gif

            On obtient:

                  recheformalg.gif

                Posons   z = x + i y     il vient:

                          calculsbis.gif

                            foralgdez.gif

       2.Soit  ( Γ ) l’ensemble de points M d’affixe z du

          plan  tels que  Z soit  un réel.

          Trouver et représenter  ( Γ ).

            Réponse:

            grgamma.gif

               On a :

                   Z est un réel   ssi      - 8 y = 0   et   ( x , y ) ≠ ( 3 ; 0 )

       c-à-d

             Z  est un réel   ssi   y = 0 avec  ( x , y ) ≠ ( 3 ; 0 )

          Conclusion :  L'ensemble cherché  ( Γ ) est l'axe des abscisse privé

                  du point A ( 3 ).

       3. Soit  ( E ) l’ensemble des points M d’affixe z du plan

          tels que Z  soit un imaginaire pur c’est-à-dire .

          Trouver et représenter ( E ).

               Réponse: 

                        cerclee.gif

                On a: 

                 Z est un imaginaire pur ssi  

                       lieue.gif

               c-à-d

                              x2  +  y2   - ( 10 / 3)  x + 1 = 0   et   ( x , y ) ≠ ( 3 ; 0)

            c-à-d 

                            x2   -  2 ( 5 / 3 ) x   +  ( y -  0  )2 + 1 =  0   et   ( x , y ) ≠ ( 3 ; 0)

         c-à-d  

                            (  x   -   ( 5 / 3 ) )2   -  (   5 / 3 )2  +  1  +( y -  0  )2     =  0   et   ( x , y ) ≠ ( 3 ; 0)

                          equcercle.gif

               Conclusion:  ( E ) est le cercle de centre Ω(5 / 3 ) et de rayon  4 / 3 privé du point A( 3 ).

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         EXERCICE 3

                 Le plan est muni d’un repère orthonormal

                        repouv.gif

                 Soit le polynôme

                    polydez.gif   

              où  z est un nombre complexe quelconque.

      1. Trouver une racine évidente du polynôme P( z ).

           Réponse:  - 1 est une racine évidente car 

           la somme des cœfficients de rangs pairs est égale à la somme

           des cœfficients des termes de rangs impairs.

      2. Trouver trois réels a , b , c  tels que :

                     polyfac.gif

           pour tout 

                  zdansc.gif .

                Réponse:  P(z ) est factorisable par z - ( -  1 ) .

                    Méthode de la division.

    z3 + z2   + z + 1        | z + 1
-( z3 + z2 ) | z2 + 1
 --------- |
             0  + z + 1 | 
               - ( z + 1 ) | 
                --------- | 
                          0 | 

                  Ainsi:

                      Conclusion:   a = 1     b = 0      c = 1

      3.  Résoudre l’équation P( z ) = 0 dans 

             grandc.gif.

           Donner les racines sous la forme algébrique et

            trigonométrique.

               Réponse:  

               On a:     P( z ) = ( z + 1 ) (  z2 + 1 )   pour tout nombre complexe z.

                 P( z ) = 0    ssi   z = - 1    ou   z2  = - 1 

               Mais   i2   = - 1    et   ( - i )2  = - 1

                Les deux racines de l'équation z2 + 1 = 0   sont donc    i et - i.

                Conclusion:    SC = { - 1 ; - i  ; i  }

              Des formes trigonométriques sont:

                 - 1 = 1 ei π         - i = 1  e- i( π / 2)         i = 1  e i( π / 2)

  4. Soit les points A , B , C  d’affixes respectivement   - 1  ; i  ;  - i.

         a. Faire une figure .

                      fig4587.gif

         b. Trouver  une forme exponentielle du quotient  

                    .quotzabsurzac.gif.

             Réponse:

                      On a :

                   formexp-1.gif

         c. En déduire  une mesure de l’angle

              anglevect-ac-ab.gif  .

        Que peut-on dire alors du triangle ABC ?

      Réponse:

            On a :

            mesd-angle.gif

               Le triangle ABC est rectangle en A

     5. Soit le polynôme    

             polyl-z.gif

            pour tout nombre complexe z et tout

           nentiernonnul.gif .

            a. Dans le cas où

                 zdiffde1.gif   

              exprimer L( z ) comme un quotient.

               Réponse:

                     On reconnaît la somme des n + 1 premier termes d'une suite géométrique

                     de raison z distincte de  1 et de premier terme 1.

                     Donc :

                   qu8759.gif                  

            b. Dans le cas où | z | < 1  que peut-on dire de

              liml-z.gif   ?

          Réponse:

            Comme   | z | < 1    on a

                         lim753.gif

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