INFO DV n°4 TS1 08 nov. 2014

          INFO             DV n° 8     TS1               8 novembre 2014 

          EXERCICE 1

             Pour tout nombre complexe z, on pose P( z ) = z⁴ - 1

             1. Factoriser P( z ) = z⁴ - 1 .

             2. En déduire les solutions dans de l'équation P( Z ) = 0.

             3. En déduire les solutiondans  de l'équation d'inconnue z 

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         REPONSE:

        1.Factoriser   P( z ) = z⁴ - 1.

            On a fait apparaître une différence de deux carrés.

            Ainsi :             P( z ) = ( z² )²   −   1²   

            c-à-d      P( z ) = ( z² − 1 ) ( z²   +  1 )

            De nouveau :

            On a:       P( z ) = ( z − 1 ) ( z + 1 ) ( z² + 1  )

             Mais       1  =  − i² 

            Donc :

                         P ( z ) = ( z − 1 )( z + 1 )( z²  −  i² )

           c-à-d  finalement

                 Conclusion :   P ( z ) = ( z − 1 )( z + 1 )( z −  i )( z + i )

         2. En déduire les solutions de l'équation P( z ) = 0 dans l'ensemble des nombres complexes  .

             On peut dire que 

                       P( z) = 0  

             se traduit par:  

                      ( z − 1 )( z + 1 )( z −  i )( z + i ) = 0

                  c-à-d  

                         z = 1     ou      z = − 1      ou    z = i      ou    z = − i

               Conclusion :   S_C = {   1   ;   − 1  ;   i    ;    − i   }

          3. En déduire les solutions dans l'ensemble des nombres complexes de l'équation :

                 c-à-d   d'après la question précédente, trouvons les nombres complexes z tels  

                     soit solution de l'équation P( Z ) = 0

                    c-à-d  

                     soit dans  {   1   ;   − 1  ;   i    ;    − i   }.

                Discutons:

                            c-à- d  

                     z ≠ 1  et   2 z + 1 = z − 1                        

                              c-à- d  

                     z ≠ 1  et    z  =  − 2   

                          c-à- d  

                                     z ≠ 1  et   2 z + 1 = − z +  1 

                           c-à-d

                                      z ≠ 1  et   3 z = 0    

                         c-à-d             z = 0                      

                          c-à- d  

                                        z ≠ 1    et         2 z + 1 = i (  z −  1 )

                         Soit   z ≠ 1

                         On a :             2 z + 1 = i z − i

                         c-à-d

                                             2 z  − i z  =  − i − 1

                         c-à-d   

                                         (  2   −  i   ) z = −  i − 1                 

                         c-à-d   

                                  z =   (  −  3 i  − 1  )  /  5           

                                      c-à-d  

                       Ainsi le conjugué d'une solution non réelle précédente 

                              est une solution. 

                           z =   (    3 i −  1  )  /  5  

           Conclusion :  S_C = {  (  − 3i  − 1  )  /  5  ;   (    3 i  − 1  )  /  5      ; 0  ,  − 2  }

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    EXERCICE 2      bac

               On considère les nombres complexes :

                     z₁ = √ 6 − i √2             z₂ = 2 − 2 i

             1. Ecrire sous la forme algébrique le nombre complexe   z₁ / z₂.

             2.Ecrire sous forme exponentielle les nombres complexes

                         z₁      z₂           z₁ / z₂    

              3.En déduire les valeurs exactes de cos( π / 12 )  et sin ( π / 12 ) .

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    REPONSE:

              1. On a  :

                        c-à-d

                    Conclusion:

               2.    •Pour z₁  .

                                z₁ = √ 6 - i √2  =  √ 2 (  √3  − i )

                  Donc son module est :      | z₁ | = √2  | √3 - i |

                    Or

                    |  √3  − i |  = √ (  3 + 1 ) = √4  = 2

                   Donc

                    | z₁ | = 2 √ 2

                    Considérons:          

                            cos α  = √6  / ( 2 √ 2 ) = √3 / 2

                             sin α =  - √2  / ( 2 √ 2 ) = - 1 / 2

                                 α  = - π / 6  convient

             Ainsi         z₁ = 2√2   ( cos( π / 6 )  - i sin( π / 6 )  )

                              Conclusion:       z₁ = 2 √2 e^{− i π / 6}

                   • Pour z₂  

                            z₂ = 2 - 2 i  = 2 ( 1 − i )

                    Donc le module est    | z₂ | = 2  | 1 - i |

                      Or    | 1 - i | = √( 1 + 1 ) = √2

                     Donc   | z₂ | = 2 √ 2

                           Considérons :

                               cos α   =  2 / ( 2 √2  )  = 1 / √ 2

                               sin α   =  - 2 / (2 √2 ) =  − 1 / √ 2

                               α = − π / 4 convient

                           Ainsi :

                                  z₂  =  2 √2  ( cos( π / 4 ) − i sin (π / 4 ) )

                     Conclusion:        z₂ = 2 √2  e ^{− i π /4}   

                        • Pour Z = z₁ / z₂  

                        Son module est le quotient des modules .

                       Mais  z₁ et z₂   sont de même module    

                       Donc  Z  est de module 1.

                      De plus 

                        arg(Z ) = arg( z₁  ) − arg( z₂ )    ( 2 π )

            c-à-d 

            arg( Z ) =(  − π / 6)  − ( − π / 4 )  =( − π / 6 ) + (  π / 4 )      ( 2π   )

            c-à-d

                            arg( Z ) = π /  12       ( 2π  )

          Conclusion :    z₁ / z₂ = e^{i π/ 12}   

                   3.  D'après la question précédente:

                       z₁ / z₂ = cos (π  / 12 ) + i sin( π / 12 )

                     Mais d'après la première question :

    On écrit l'égalité des partie réelles et l'égalité des parties imaginaires .

                 Conclusion:

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          EXERCICE 3

                Le plan ( P ) ici est rapporté à un repère orthonormé direct

                        Unité graphique:  3 cm

              On considère l'application de – { − 2 − i } dans  

              définie par:  

      1. Représenter dans P le point A d'affixe − 3 + i .

           Calculer f(  − 3 + i ) et représenter dans P le point A '

           d'affixe f(  − 3 + i ).

                   On a :

                  Conclusion : Le point A ' est d'affixe i   

    2. Résoudre f( z ) = 2 i dans l'ensemble des nombres complexes.

        Soit  z ≠ − 2 − i .

              f( z ) = 2 i   s'écrit alors  z + 1 - 2 i =  2 i ( z + 2 + i )

          c-à-d     comme      i² = - 1

                                                  z + 1 - 2 i =  2 i z + 4 i - 2

           c-à-d

                    z - 2i z  =  6 i - 3

           c-à-d

                      z ( 1 - 2 i ) = 6 i - 3

           c-à-d

            c-à-d

                  Conclusion:    z = - 3

        3. En posant z = x + i y , x réel et y réel déterminer la partie réelle

             et la partie imaginaire de f( z ).

         Soit  z ≠ - 2 - i

              On a :

    c-à-d            en considérant   ( x , y ) ≠ ( - 2 , - 1 )

    c-à-d

  c-à-d

      c-à-d 

           Conclusion :

      4.• Déterminer et représenter dans ( P ) l'ensemble E₁ des points

              M d'affixe z tels que f( z ) soit réel.

              Considérons :

                               Im( f( z ) ) = 0

                c-à-d

                        y - 3 x - 5 = 0   avec ( x , y ) ≠  ( - 2 , - 1 )

                    c-à-d

                        y = 3 x + 5     avec ( x , y  ) ≠  ( - 2 , - 1 )

                 Conclusion :

               E₁   est la droite d'équation y = 3 x + 5 privée du point d'affixe - 2 - i                 

           • Déterminer et représenter dans ( P ) l'ensemble E₂ des points 

                  M d'affixe z tels que f( z ) soit réel.

             Considérons 

                      Re( f( z ) ) = 0

                 c-à-d

                               x²    + y²  + 3 x  − y = 0   avec ( x , y )  ≠ ( − 2 , − 1 )

                  c-à-d

                ( x + 3 / 2 )²  − 9 /4  + ( y − 1/ 2 )²   − 1 / 4 = 0    avec  ( x , y ) ≠ ( − 2 , − 1 ) 

            c-à-d 

                  ( x − ( −  3 / 2  ) )²  − 9 /4  + ( y − 1/ 2 )²   − 1 / 4 = 0    avec  ( x , y ) ≠ ( − 2 , − 1 )    

              c-à-d

                ( x − ( −  3 / 2  ) )²  + ( y − 1/ 2 )²    = ( √ ( 5 / 2  ) ) ²    avec  ( x , y ) ≠ ( − 2 , − 1 )   

           Conclusion: 

                   E₂ est le cercle de centre Ω ( - 3/ 2 , 1 / 2  ) et de rayon √( 5 / 2 )  privé du point

                   d'affixe - 2 - i.

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