INFO DV n° 4 TS1 mercredi 20 nov213

                       INFO   DV n° 4   TS1   mercredi 20 novembre 2013

     EXERCICE 1

          Le plan est muni d'un repère orthonormal direct.

          Soit les points A( 1 + i  ) , B( 2 i ) , M( z )  avec z un nombre complexe 

          quelconque distinct de 1 + i .

          Soit:

      1. Déterminer et construire l'ensemble ( Ε ) des points M( z ) du plan tels que Z soit 

           un nombre réel.

          REPONSE:

             Soit      z ≠ 1 + i

               On a :

             c-à-d

                Ainsi : 

                     Z est un réel équivaut à   

                     c-à-d 

                       Les points A , B  et  M sont alignés et M ≠ A.

              Conclusion : 

                L'nsemble cherché est la droite ( A B ) privée du point A.

    2. Déterminer et construire l'ensemble ( Γ ) des points M( z ) du plan tels que Z soit

           un imaginaire pur.

          REPONSE:

    On a :    

                Z est un imaginaire pur  si et seulement si  Z   est de la forme  iY où Y est dans IR 

     c-à-d 

                     Z est un imaginaire pur  ssi  soit  Z est nul, soit Z est non nul et arg( Z ) =  ±  π / 2   ( 2 π )

      c-à-d         (  comme θ =  ±  π / 2   ( 2 π ) s'écrit aussi  θ =    π / 2   (  π )    )

                       Z est un imaginaire pur  ssi   Z = 0 ou (  Z ≠ 0  et  arg(Z) = π / 2   ( π )   )

    c-à-d

               Z est un imaginaire pur  ssi    Z = 0  ou (  Z ≠ 0  et  arg( ( z - z_B ) / ( z - z_A ) ) = π / 2   ( π )  )

        c-à-d        Z est un imaginaire pur  ssi   M = B   ou (  M ≠ B  et M ≠ A et ( vect( AM) , vect( BM) ) = π/ 2   ( π )  )

        c-à-d        Z est un imaginaire pur  ssi   M = B   ou (  M ≠ B  et M ≠ A et le triangle ABM est rectangle en M  )  

                Conclusion :     ( Γ ) est le cercle de diamètre [AB] privé du point A.

      3. Déterminer et construire l'ensemble des points M( z ) du plan tels que: 

             REPONSE:     

              On a vu que:

        Z est un imaginaire pur  si et seulement si  soit  Z est nul, soit Z est non nul et arg( Z ) =  ±  π / 2   ( 2 π )         

                   Ici nous avons:    arg( Z ) =  +  π / 2   ( 2 π )  avec sous entendu  Z ≠ 0

                   L'ensemble cherché est donc une partie de l'ensemble ( Γ ) précédent.

           On a :        M ≠ A  mais aussi M ≠ B  et ( vect( MA), vect( MB) ) = π / 2   ( 2 π )

                    Conclusion:

                   Le point M va décrire l'arc  d'extrémtés A et B  non comprises situé sur le cercle de diamètre [ AB]

                   en dessous de la droite ( AB).

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        EXERCICE 2   

         Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation

            REPONSE:               

                        Considérons:

                     c-à-d 

                        ( x + 1 )² - y² = 0                L₁

                 et          y ( x - 1 ) = 0               L₂

                    c-à-d

                                 ( x + 1 )²  =  y²               L₁ 

                         et     y = 0  ou  x    = 1              L₂

                  •   Considérons:       y = 0

                           L₁      s'écrit alors      (  x +  1 )²  =  0

                                             c-à-d                x  =  -  1

                             On a :       x + i y = - 1 + o i = - 1

                 •   Considérons:  x  =  1

                                   L₁      s'écrit alors:     2²   = y²                                                  

                                                          c-à-d       y =  ±  2

                            On a  :     x + i y = 1 + 2 i     ou    x + i y = 1 - 2 i

                Finalement:

                     Conclusion: 

                             S_C = { - 1 ; 1+ 2 i  , 1 - 2 i  }     

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        EXERCICE 2   bis  ( non demandé dans le Devoir )

                   Pour information:

       Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation

       REPONSE:

             1.   Directement:     ( z + 1 )²   = 0

                   c-à-d                  z + 1 = 0

                   c-à-d                    z = - 1

                    Conclusion :    S  = { - 1 } 

            2. Autre possibilité plus longue:

                        Considérons:

                     L₂   s'écrit               y ( x+ 1 ) = 0    c-à-d     y = 0 ou x = - 1

                  •   Considérons:       y = 0

                           L₁      s'écrit alors:     x²   + 2  x  +1  =  0

                                             c-à-d  (  x +  1 )²  =  0

                                             c-à-d    x  =  -  1

                 •   Considérons:  x  = - 1

                                   L₁      s'écrit alors:      ( - 1 )²  -   y²    -    2  +  1  =  0

                                                   c-à-d        y² = 0

                                                    c-à-d     y = 0

                Finalement le système formé  par  L₁  et L₂   se ramène à :

                     x = - 1 et  y = 0

                 c-à-d     z = - 1 + 0 i = - 1

                     Conclusion: 

                             S_C = { - 1 }     

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       EXERCICE 3 

         Soit les points A( i ) et B( 2 + i ) du plan muni d'un repère orthonormal

          direct.

         À tout point M d'affixe z , distincte de i , on associe le point M' d'affixe Z tel que:

     1. Déterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que M'

          décrive l'axe des abscisses.

            REPONSE:

            M ' ( Z )  décrit l'axe des abscisses signifie   Im( Z ) = 0  

                                                                c-à-d         Z est un réel.

           La traduction de Z est dans IR  est :             

                        Il existe un réel λ tel que     ( z - z_B ) / ( z - z_A )  = λ

           c-à-d 

                  Les vecteurs vect( BM) et vect(AM) sont colinéaires et M ≠ A

      Conclusion :   L'ensemble cherché est la droite ( AB)  privée du point A( i ).                             

     2. Déterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que M '

         décrive la cercle de diamètre [AB].

        REPONSE::

                Le cercle de diamètre [ AB ] est de centre  Ω

                d'affixe   z_Ω  = ( z_A + z_B ) / 2 =(  2  + i +  i ) / 2 =  1 + i

               AB = |  z_B - z_A | = | 2 + i - i  | =| 2  | = 2

               Le rayon du cercle de diamètre [ AB ] est 1.

             Imposons :    ΩM' = 1  

                c-à-d           | Z -  ( 1 + i ) | = 1

             On a  pour z ≠  i  :

                c-à-d

             Donc | Z - 1 | = |  3 +  i z | / | z - z_A | = 1                 avec  z ≠ i

              Ainsi :    | i ( z - 3 i ) | / | z - z_A | = 1

                c-à-d        |  z - 3 i  | / | z - z_A | = 1             

           c-à-d            en posant      z_C    =  3  i   

                   CM = AM    (  comme A ≠ C )

             Ainsi    ΩM' = 1    se traduit par  

                            CM = AM  

            Conclusion :

                   L'ensemble cherché est la médiatrice du segment [CA] . 

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