INFO EX BAC S 2006 INDE

                        INFO   EXERCICE DE  BAC S       2006     INDE

        EXERCICE         

  Le plan est muni d'un repère orthonormal direct

       repere-orthonormal-avec-u-et-v.gif .

      On prendra pour unité graphique 5 cm.

      On pose  z0 = 2  et, pour tout entier naturel n,

                        egalite923.gif

     On note An  le point d'affixe zn  .

     1. Calculer z1   , z2   , z3   ,z4   et vérifier que z4  

          est un nombre réel.

          Placer les points  A1   , A2   , A3   et A4   sur une figure.

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   REPONSE:

          zindice1.gif

          zindice2.gif

           zindice3.gif

         zindice4-2.gif  

            z4 est bien un nombre réel.

             Figure:

                    figureexbac2006-1.gif  

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2. Pout tout entier naturel n, on pose un = | zn  |.

           Justifier que la suite ( un  ) est géométrique puis établir que,

                     pour tout entier naturel n ,

                     egalite925.gif 

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             REPONSE:

        Soit n dans IN.

              suitegeom.gif

      Conclusion:    La suite ( un ) est bien géométrique de raison  1 /√2

           On a :      u0 = | z0 | = | 2 | = 2

       Conclusion : On a bien pour tout n dans IN 

                                  egalite925.gif

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      3. A partir de quel rang n0  tous les points An  appartiennent-ils

         au disque de centre O et de rayon 0,1 ? 

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       REPONSE:

               Les points An  appartiennent   au disque de centre O et de rayon 0,1 

               quand     OAn   ≤ 0,1   .

           dem789.gif

         Pour    n =  8    on a  ( √2 )n     ≈   16

         Pour    n =   9       on a  ( √2 )n     ≈   22,63

         Donc:

       Conclusion : A partir du rang  n0 = 9  on bien les points An   dans le disque de

        centre O et de rayon 0,1

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      4.a. Etablir que, pour tout entier naturel n,

                                         egalite924.gif

               En déduire la nature du triangle O An An + 1.

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   REPONSE:

      Comme les modules un  des nombres complexes zn   sont non nuls,

        les zn  sont non nuls pour tout n dans IN.

         egalite924.gif 

          revient à établir que 

             egalite15978.gif

       rais22.gif

     Donc

     Conclusion : l'égalité 

        egalite924.gif

       est prouvée pour tout n dans IN.

      Le triangle O An An + 1   est isocèle  n en An + 1  .

             En effet:    

                     rais23.gif

             Il est aussi rectangle en An + 1  .

                   figurebisexbac2006.gif

             Il faut et il suffit d'établir ( 1 )

             rais11.gif

            Conclusion:  Les triangles sont rectangles en An + 1

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            b. Pour tout entier naturel n , on note Ln   la longueur de la

               ligne brisée  A0   , A1   , A2   .... An - 1    ....  An   .

                On a ainsi   Ln  =  A0  A1  + A1 A2   +... + An - 1 An   .

                Exprimer Ln en fonction de n.

               Quelle  est la limite de la suite ( Ln ) ?  

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        REPONSE:

                     lignebrisee.gif

              Ln  =  A0  A1  + A1 A2   +... + An - 1 An   = O A1 + OA2  +...+ O An   

      Donc             Ln  = u1  +u2  + ....+ un

                        C'est la somme de n termes de la suite géométrique ( un ) .

             On a:           

                                   uind1.gif

                Donc   comme la raison est différente de 1 on a:

                                     sol44.gif

            Mais

                        finexbac.gif

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