INFO FEUILLE 1 sur les nombres complexes

     INFO FEUILLE 1 d'exercices  sur les complexes   TS Octobre 2012

   EX1 

      1.Mettre sous la forme algébrique les nombres complexes:

     2. Donner leur module.

----------------------------------------------------------------------------------------------------

          REPONSE:

        1. Donnons les formes algébriques de z et z' .

            •Pour:

                 Le conjugué de 3 - 4 i est 3 + 4 i.

               Le principe: On multiplie le numérateur et le dénominateur 

                                    par le conjugué de 3 - 4 i.

              Comme  ( 3 - 4 i ) × ( 3 + 4 i ) = | 3- 4 i |²  = 3² +  ( - 4 )² = 25

             Cela peut permettre d'aller plus vite pour le dénominateur.

              A RETENIR:    ( a + i b ) × ( a - i b ) = a² + b²      où a et b sont des réels 

                                  peut se mettre directement sans détailler.

        •Pour:

                  Le conjugué de 1 + i est  1 - i .

    2. Calculons les modules de z et z '.

           •  Pour  | z | 

        •  Pour | z ' |

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

   EX2

       Soit le nombre complexe   z = 1 + 2 i .

       Dans un repère orthonormal direct du plan représenter les points 

      M( z )  ,  M' (   )  , M '' ( - z ) , M ''' ( -   ).

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    REPONSE:

          On a le points :

              M( 1 ; 2 )  , M ' ( 1 ; - 2 )  , M ''' ( - 1 ; - 2 ) et  M ''' ( - 1; 2 )

          Ici les points sont les sommets d'un rectangle.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    EX 3 

          Mettre sous la forme algébrique  les nombres complexes:

            z = 2 ( cos( 2 π /3 ) + i sin(  2 π /3 )  )

             z' =  1 / z

----------------------------------------------------------------------   

     REPONSE:

          •Donnons la forme algébrique de z.

              On a :

                           z = 2 ( cos( 2 π /3 ) + i sin(  2 π /3 )  )

        c-à-d 

                           z = 2 ( - 0,5  + i √3  / 2   )

        c-à-d  

                          Conclusion :      z = - 1 + i √3   

         • Donnons la forme algébrique de  z ' = 1 / z  .

                      z ' = 1 / z  

                     Donc 

                car

                  Donc              z ' =  ( - 1 - i √3  ) /  |  - 1 + i √3  |²    

                 c-à-d 

                            z ' =  ( - 1 - i √3  ) /  (  ( - 1 )² + ( √3 )²    )

               c-à-d

                                z ' =  ( - 1 - i √3  ) /  4 

           c-à-d     

      Conclusion :      

 ------------------------------------------------------------------------------------------------

   EX 4

      Calculer ( 1 + i √5  )⁵  

      Info:  Dans IR  comme dans l'ensemble des nombres complexes on a :

               ( a + b )⁵ = a⁵ + 5 a⁴ b + 10 a³  b² +10 a²  b³  + 5 a b⁴ + b⁵  

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    REPONSE:

   On a:

   ( 1 + i √5  )⁵  = 1⁵ + 5× 1⁴ ×i√5 + 10× 1³  ×( i√5 )² +10× 1²  ×( i√5 )³  + 5 ×1 ×(i√5 )⁴ + ( i√5 )⁵  

  c-à-d 

     ( 1 + i √5  )⁵  = 1 + 5i√5 + 10×( - 5 ) + 10×( - 5i√5 ) + 5 ×25  + 25 i√5 

 c-à-d  

      ( 1 + i √5  )⁵  = 1 + 5i√5 - 50 - 50i√5 + 125 + 25 i√5 

  c-à-d

  Conclusion :     ( 1 + i √5  )⁵  = 76 - 20i√5

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

   EX 5

    Donner la forme algébrique de

    sachant que x et y  sont deux réels tels que ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ).

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

       REPONSE:

    On a :

             avec     x + i y ≠ 0

              c-à-d   ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ).

             Donc  en multipliant en haut et en bas par le conjugué du dénominateur

            qui est  x - i y   il vient :

                              avec  ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ).

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

  EX 6 

            Soit    j = - 0,5 + (  √( 3 )  / 2 ) i         ( La lettre j est réservée )

            Calculer   j²    ,      1 + j + j²        ,       j³    ,        1 / j .

      Placer dans un repère orthonormal du plan les points 

      A, B et C d'affixes respectivement 1 , j ,  j²  .

------------------------------------------------------------------------------------

  REPONSE:

              Calculer  j²    ,   1 + j + j²   ,   j³    ,    1 / j . 

       • Pour    j²    :

          • Pour  1 + j + j²    :

              On a   

         •  Pour   j³    :

     •  Pour 1 / j 

    c-à-d

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

  EX 7 

    Donner l'affixe du centre de gravité G du triangle    A , B , C 

       où les points A , B et C ont respectivement pour affixe 

        1       ( - 1+ i ) / 2       ( - 1- i ) / 2 .

------------------------------------------------------------------------------

  REPONSE:

          z_G   =   ( z_A + z_B + z_C ) / 3    affixe du centre de gravité du triangle ABC

          On a :     z_G   =   [ 1  + ( - 1+ i  ) / 2   + ( - 1 - i ) / 2  ] / 3

          c-à-d      z_G   =   [  2  + ( - 1+ i )   + ( - 1- i )  ] / 6

           c-à-d      z_G   =   [  2  - 1+ i   - 1 - i    ] / 6  = 0 

          c-à-d    

             Conclusion :   z_G   =   0   

------------------------------------------------------------------------------------

     EX 8 

              Soit les points  A ( 1 + i ) , B( - 1+ 2i ) , C( - 2 ) du plan .

       Trouver un point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

-----------------------------------------------------------------------------------------------

    REPONSE:

                     Comme ABCD est un parallélogramme 

                          on a :        vect( BA ) = vect ( CD )

         Cela  se traduit par :   z_A - z_B = z_D - z_C 

      c-à-d       z_D =  z_A - z_B +z_C

       c-à-d      z_D =  1 + i - ( - 1 + 2 i ) + ( - 2 ) = 1 + i  + 1 - 2 i - 2 = - i

     Conclusion   :  On a le point D( - i )      

---------------------------------------------------------------------------------------------------

    EX9

     Résoudre  dans  l'ensemble des nombres complexes 

--------------------------------------------------------------------------------

  REPONSE:

       Soit    z ≠ 1 

            s'écrit     z + 1 = 2 i ( z - 1 )

        c-à-d   

                         z + 1 = 2 i z - 2 i

         c-à-d 

                            2 i z - z = 1 + 2 i 

         c-à-d  

                           z ( 2 i - 1 ) = 1 + 2 i 

       c-à-d 

         c-à-d   

                   Le z trouvé convient car ce n'est pas 1

----------------------------------------------------------------------------------------------

    EX 10 

        Trouver l'ensemble des points M( z ) du plan tels que :

                     | 2 z + 3 | = 5

--------------------------------------------------------------------

REPONSE:

           L'égalité donnée   | 2 z + 3 | = 5

               s'écrit 

                en divisant par 2

    c-à-d

           Soit le point A d'affixe - 3 / 2.

           Soit le point M d'affixde z.

           L'égalité donnée  se traduit par    AM = 2,5

       Conclusion :

         L'ensemble des points M( z ) tels que AM = 2 , 5

         est le cercle de centre A( - 3 / 2 ) et de rayon 2,5.

--------------------------------------------------------------

     EX 11 

             Trouver l'ensemble des points M( z ) du plan tels  que :

---------------------------------------------------------------

  REPONSE: 

       Soit z = x + i y 

      Considérons   z ≠ - 1    c-à-d   ( x , y )  ≠  ( 0 ; 0 )

               en raison du dénominateur.  

        ( x + 1 / 2 )²  + y²  - 1 / 4 = 0   et    ( x, y ) ≠( - 1 ; 0 )

   c-à-d   

       ( x - (- 1 / 2 ) )²  + (y - 0 )²  = ( 1 / 2 )²      et  ( x , y ) ≠( - 1 ; 0 )

       On reconnaît une équation de cercle .

     Conclusion: L'ensemble des points M( z ) cherchés est le cercle de centre E( - 1/ 2 ) 

     et de rayon 1 / 2  privé du point F( - 1 ).

----------------------------------------------------

   EX12 

      Trouver l'ensemble des points M( z ) du plan tels que :

                                    | z | = | z² |  

------------------------------------------------------------------------------

     REPONSE:  

           Soit  un repère orthonormal du plan

                  ^.          

          Légalité donnée   | z | = | z² |   équivaut à     | z | ²  - | z | = 0

               c-à-d    | z | ( | z | - 1 ) = 0

          c-à-d        z = 0   ou   (  z ≠ 0  et 1 = | z |  )

         c-à-d          z = 0  ou | z  | = 1

         c-à-d         z = 0    ou   | z - 0 | = 1  

         Cela se traduit géométriquement par :

                               M = O  ou    OM = 1 

           L'ensemble considéré est donc 

           l'ensemble des points M tels que  M = O ou 

            M est sur le cercle C( O( 0) ; 1 ).

           Conclusion:  L'ensemble cherché est  { O } U C( O( 0) ; 1 ).

 -----------------------------------------------------