MATHS . EXPERT 17 Février 2022
LOGIQUE POUR TROUVER UNE RACINE DEUXIEME D'UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL
Soit les nombres complexes non nuls sous la forme algébrique, Z = x + i y et 1 + i .
D’après l’égalité de deux nombres complexes sous la forme algébrique on a l’équivalence :
Z2 = 1 + i ⇔ [ Re( Z2 )= Re( 1+ i ) et Im( Z2 )= Im( 1+ i ) ]
On peut alors écrire aussi:
Z2 = 1 + i ó [ Re( Z2 )= Re( 1+ i ) et Im( Z2 )= Im( 1+ i ) et | Z2 | = | 1 + i | ]
En effet : Z2 = 1 + i ⇒ | Z2 | = | 1 + i |
On peut schématiser :
Z2 = 1 + i notée p , ( Re( Z2 )= Re( 1+ i ) et Im( Z2 )= Im( 1+i ) ) notée q ,
et | Z2 | = | 1 + i | notée r
EXPLICATIONS :
Soient p , q , r trois propositions :
Soit : p ó q , et q ⇒ r .
Alors on a : p ⇒ r , et p ó( q et r ) , et ( p et r ) ó q .
Démonstration :
• On a : p ⇒ q car par hypothèses p ó q
De plus: q ⇒ r par hypothèses
Conclusion: p ⇒ r ( Transitivité de la relation ⇒ )
• ♦ On a vu que : p ⇒ q et p ⇒ r
Donc : p ⇒ ( q et r ) ( Transitivité de ⇒ ) ( 1 )
♦ De plus : ( q et r ) ⇒ q
Et q ⇒ p car par hypothèses p ó q
Donc : ( q et r ) ⇒ p ( Transitivité de ⇒ ) ( 2 )
Conclusion : ( 1) et ( 2 ) donnent p ó( q et r )
• Pour l’autre équivalence il suffit de permuter p et q .
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