MATHS . EXPERT 17 Février 2022
EXEMPLE : Recherche des nombres complexes x + i y tels que ( x + i y ) 2 = 1 + i
On a : ( x + i y )2 = 1 + i ó Re( ( x + i y ) 2 ) = Re( 1 + i ) L1
et Im (( x + i y )2 ) = Im(1 + i ) L2
et | x+ i y |2 = | 1 + i y | L3
c-à-d ( x + i y )2 = 1 + i ó Re( x2 − y2 + 2 x y i ) = 1 L1
et Im ( x2 − y2 + 2 x y i ) = 1 L2
et x2 + y2 = √2 L 3
c-à-d ( x + i y )2 = 1 + i ó x2 − y2 = 1 L1
et 2 x y = 1 L2
et x2 + y2 = √2 L3
En considérant : L1 ← L1 + L3 L3 ← L3 – L 1
On obtient: ( x + i y )2 = 1 + i ó 2 x2 = 1 + √2
et x y = 1 / 2
et 2 y2 = √2 − 1
c-à-d ( x + i y )2 = 1 + i ó x2 = ( √2 + 1 ) / 2
et x y = 1/ 2
et y² = ( √2 − 1 ) / 2
c-à-d ( x + i y ) 2 = 1 + i ó x = + ou – √( ( √2 + 1 ) / 2 )
et x y = 1 / 2 ( x et y sont de même signe )
et y = + ou – √( ( √2 − 1 ) / 2 )
On a: √( ( √2 + 1 ) / 2 ) x √( ( √2 − 1 ) / 2 ) = – √( ( √2 + 1 ) / 2 ) x [ – √( ( √2 − 1 ) / 2 ) ] = 1 / 2
On a : ( x + i y )2 = 1 + i ó x = √( ( √2 + 1 ) / 2 ) et y = √( ( √2 − 1 ) / 2 )
ou x = − √( ( √2 + 1 ) / 2 ) et y = − √( ( √2 − 1 ) / 2 )
Conclusion : Les racines deuxièmes de 1 + i sont :
√( ( √2 + 1 ) / 2 ) + i [ √( ( √2 − 1 ) / 2 ) ] et − √( ( √2 + 1 ) / 2 ) − i [ √( ( √2 − 1 ) / 2 ) ]
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