MATHS. EXPERT Février 2022
THÈME FACULTATIF : Z ² + 2 Z – i = 0
• Remarque : ( non exigible )
Soit une équatin de la forme: a Z 2 + 2 b' Z + c = 0 avec a , b' ,c dans C.
Le discriminant simplifié est : ∆' = b' 2 − ac
∆ = 4 ∆'
Soient δ' et − δ ' les deux racines deuxièmes de ∆' dans C.
Alors les solutions de a Z 2 + 2 b' Z + c = 0 sont :
( − b' + δ' ) / a et ( − b' − δ' ) / a
• Exemple :
Soit Z 2 + 2 Z − i = 0 a = 1 b ' = 1 c = − i
On a le discriminant simplifié : ∆' = 1 + i
Les racines deuxièmes de ∆' sont:
δ' = √( ( √2 + 1 ) / 2 ) + i √( ( √2 − 1 ) / 2 ) et − δ' .
Cliquer sur le rectangle vert pour voir les calculs : RACINE 2 ième de 1 + i DANS C FEV 2022
Conclusion : les solutions de Z2 + 2 Z − i = 0 sont les nombres complexes
− 1 + √( ( √2 + 1 ) / 2 ) + i √( ( √2 − 1 ) / 2 )
et − 1 − √( ( √2 + 1 ) / 2 ) − i √( ( √2 − 1 ) / 2 )
Dans C, les équations du second degré de la forme, a Z 2 + 2 b' Z + c = 0 avec a , b ,c dans C
ont toujours deux solutions distinctes ou confondues.
L'essentiel du travail consiste à trouver les deux racines deuxièmes ( opposées ) du discriminant.
Après il ne s'agit plus que de les reporter dans deux formules.
• Cas général de la résolution d'une équationde la forme, a Z 2 + b Z + c = 0 avec a ,b ,c dans C.
Discriminant: ∆ = b 2 − 4 ac
Soient δ et − δ les deux racines deuxièmes ( toujours opposées ) de ∆ dans C.
Les deux solutions, dans C, de a Z 2 + b Z + c = 0 sont :
( − b + δ ) / ( 2 a ) et ( − b − δ ) / (2 a )
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