EX 2 DICHOTOMIE

                        EXERCICE 2        SUR    LA    DICHOTOMIE                         TS2       9 NOV. 2010

                 EXERCICE 2

                                  Soit la fonction polynôme f : x → x3 - 8 x + 1 

                                       sur l'intervalle [ - 1 ; 1 ].

                 1. Montrer que l'équation f( x ) = 0 admet une unique solution α

                     dans l'intervalle [ - 1 ; 1 ].

                2. Trouver un encadrement de  α  d'amplitude 10- 2 à l'aide

                   de la méthode de Dichotomie.

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         Réponse:       

                                                 

                1. La fonction polynôme f est définie , continue et dérivable dans IR

                  donc dans l'intervalle [ - 1 , 1 ]  .

                  On a:  f ' ; x →  3 x2 -  8   

                  Soit x dans IR.

                      f'( x ) = 3 (  x2 -  8 / 3 )   = 3 (   x -  √ ( 8 / 3 )  ) (   x -  √ ( 8 / 3 )  )

                      On peut dire:    √ ( 8 / 3 ) ≈    1,633           

x - ∞               -  √ ( 8 / 3 )          -  1           1          √ ( 8 / 3 )                 + ∞ 
f ' ( x )           +                0                          -                         0          +
f( x )            ↑        f( -  √ ( 8 / 3 ) )            ↓                  f(  √ ( 8 / 3 ) )            ↑   

                   La  fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle [ - 1 ; 1 ].

                 f( 1 ) = 1 - 8 + 1 = - 6

               f( - 1 ) =  - 1 + 8 + 1 = 8

                On a donc      f( - 1 ) × f( 1 ) ≤  0 

                 Conclusion :  D'après le Th de la bijection l'équation f( x ) = 0 admet une unique solution   α

                     dans l'intervalle [ - 1 ;  1 ] .

       2. Donnons un encadrement de  α d'amplitude inférieure à 0,01.

                 Avec le programme DICHO de la TI 84 on obtient

                  successivement les encadrements:

                     - 1                 1

                       0                  1

                       0                 0, 5  

                       0                  0 ,25

                      0,125             0,25

                      0,125             0,1875

                     0,125               0,1563

                     0,125             0,1406

                    0,125              0, 1328

                                              Done

                     Conclusion : 0,125   ≤     α     ≤   0, 1328