INFO DS n° 3 TS1 Samedi 24 novembre 2012

                      INFO DS n° 3      TS1            

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                            ds-n-3-ex1-1.png

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        REPONSE:

     1. Résolution de l'équation z2  - 2 √2  z +  4 =  0.

        On a :    

         Δ' = b' 2 - a c     avec   b' =  √2     a = 1   c = 4

    c-à-d 

               Δ' = ( √2 )2 - 1 × 4  =  2 - 4 = - 2 

               Les racines sont donc:      

                   soluex1ds3ts1.png

           Ainsi                z1 = √2 + i√2             et      z2 =   √2 - i√2 

            Conclusion:     SC = {  √2 - i√2   ;   √2 + i√2   }

           • Donnons leurs formes trigo.

              On a :                   z1 = √2 + i√2  = √2 ( 1+ i )

             mais

                        formtrigo.png     

         Ainsi:   

                       formetrigo-bis.png 

              2. Plaçons dans un repère le  points A( 2 ) , B( z1 ) et c( z2 ).

                      figds3ts1.png

                3. Montrons que le triangle OAB est isocèle.

                     OA = | zA | = | 2 | =  2

                     OB = | z1 | =  2 

                     Conclusion :  Le triangle OAB est bien isocèle en O.

                 arg( z1  ) = π / 4  ( 2  π ) 

                Donc:  

                                   angle-oriente1.png  

                 Dans le triangle OAB  isocèle en O  la droite  ( OΩ ) est la bissectrice de l'angle en O.

               Ainsi  :  

                                      angle-oriente2.png

               4.  •Calcul de zΩ     et  | zΩ  |.

 

                              affixemilieu.png

                  Ainsi :  

                                          module.png

                 c-à-d

                                      omoduleomega.png

           •   Donnons une forme trigonométrique de zΩ .  

               D'après la question 3 nous avons aussi     arg( zΩ ) = π / 8   ( 2π )

                    ftrigdezomega.png    

          5. Donnons les valeurs exactes de cos( π / 4 )   et  sin( π / 4 ).

               Les deux présentations de de zΩ donnent:

                     fiex1ds3ts1.png        

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                    ds3ex2ts1-1.png  

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       REPONSE:

           1.Etablissons l'égalité demandée:

                formulesuite.png

                On a :

               debutexeds3.png

        2. Calculons S + i T.

             On reconnaît la somme des 5 premiers termes d'une suite géométrique de

              premier terme 1 et de raison. 

               raison.png      

                z ≠ 1.

             Donc     

              calcudelasomme.png

         3.  Déduisons S et T.

                  comme     S + i T = 0

                  on a:

            Conclusion:       S = 0    et    T = 0  

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            ds3ex3ts124nov2012-1.png

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            REPONSE:

                 lieux.png

                Déjà on remarque :

                 defdez.png 

        1. Cherchons( D ).

           | Z | = 1   s'écrit    

               traduction-1.png 

              c-à-d      AM = BM

      Conclusion :    L'ensemble ( D ) est la médiatrice du segment [ AB].

     2.  Trouvons l'ensemble ( E ).

          Z est un nombre réel se traduit par:

           Il existe un réel a tel que  :

                                          quotient-reel.png

                c-à-d    

            Il existe un réel a tel  que:     z - zA = a ( z - zB )  avec    z ≠  zB

               c-à-d

               Il existe un réel a tel  que:

                                                        egalitevect.png

      Conclusion: L'ensemble ( E ) est la droite ( AB ) privée du point B

            3. Cherchons ( Γ ).             

            imagpur-1.png   

             c-à-d

             lieu-1.png   

       Conclusion : L'ensemble ( Γ )  est le cercle de diamètre [AB] privé du point B.

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            ds3ex4ts1nov12.png

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     REPONSE: 

                   figds3ts1-1.png 

             1. Non. 

                En effet :  

                   Le discriminant simplifié de  x2  - 2 x + 5  est 

                   strictement négatif.

                   Δ ' = ( - 1 )2 - 5 = - 4

                  et  a = 1        1 > 0

                     Ainsi       x2  - 2 x + 5  > 0    pour tout réel x.

                   La fonction rationnelle f est donc définie sur tout IR.

                   Elle y est continue.

                   Soit x0   un réel quelconque.

                   Quand x tend vers le réel x0  on a  f(x) qui tend vers le réel f(x0 ).

                   f  ne peut pas avoir une limite infinie en un réel x0 .

           2. Donnons sa limite en + ∞.

                Soit x > 0

                On a :    - 3 x2  / x2    = - 3

                  f est une fonction rationnelle.

                 On a :    lim f   = lim ( - 3 ) = - 3

                               + ∞       x → + ∞ 

                 Conclusion: 

                                lim f   =  - 3

                                + ∞    

       3. Recherche de ( D ).

                On peut déduire de la question précédente que 

                la droite  D : y = - 3  est une asymptote horizontale à

                la courbe( C ) de f en  + ∞.

             Concusion:  C'est la droite D : y = - 3 qui répond à la question.

        4. Donnons les positions relatives de D et ( C ).

            Soit x dans IR.

          differ.png

               f( x ) - ( - 3 ) est du signe de - 2 x  + 5    car    x2  - 2 x + 5  > 0  pour tout réel x.

          Ainsi: 

         • Pour tout x dans  ] - ∞  , 5 / 2 [        f( x ) - ( - 3 ) > 0

         •  Pour tout x dans  ]5 / 2 ,   + ∞ [        f( x ) - ( - 3 ) < 0

        Conlusion:   Sur  ] - ∞  , 5 / 2 [    ( C ) est au dessus de D.

                          Sur   ]5 / 2 ,   + ∞ [   ( C ) est en dessous de D.

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