INFO DS n° 3 TS1 vendredi 22 nov.2013

                                              INFO DS n° 3   22 novembre 2013  TS1

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         EXERCICE  1

            Le plan est muni d’un repère orthonormal

                     .

           Soit la fonction rationnelle  définie  par :

           Soit ( C ) la courbe de la fonction .

          1.     La courbe de la fonction f admet-elle une asymptote verticale.

                      ( Justifier)

          2.     Donner la limite de la fonction f en  + ∞.

          3.     La courbe ( C ) de la fonction f admet-elle une asymptote D

                  horizontale en  + ∞  ? ( Expliquer )

          4.     Dans l’affirmative donner les positions relatives de ( C ) et  D.

                 ( Justifier )

          5.     La fonction  est-elle continue sur  IR ?

          6. a. Montrer que la fonction dérivée  f '   de f  est :

                                   .

             b. Donner le sens de variation de la fonction  f .

             c. Que représente l’axe des abscisses pour la courbe de la fonction f  ?

          7.  L’équation f( x ) = - 1 admet–elle une unique solution dans l’intervalle

              [ - 3 ; - 1] ?

          8. Donner les coordonnées du point A  d’intersection de ( C ) avec  la droite d’équation  y = - 3.

          9. Soit la fonction

                                .

               Donner sa limite en  + ∞ .

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          REPONSE:

  1. Existence éventuelle d'une asymptote verticale pour ( C )

            Non. 

               La fonction rationnelle f  est définie sur IR

               En effet :  

                   Le discriminant simplifié de  x²  - 2 x + 5  est 

                   strictement négatif.

                   Δ ' = ( - 1 )² - 5 = - 4

                  et  a = 1        1 > 0

                     Ainsi       x²  - 2 x + 5  > 0    pour tout réel x.

                   La fonction rationnelle f est donc définie sur tout IR.               

                   f  ne peut donc pas avoir une limite infinie en un réel x₀ .

              (   On peut dire aussi, simplement, qu'une fonction rationnelle comme f

                  est continue sur son domaine de définition ici  IR. Ce qui demandé plus loin)

           2. Donnons sa limite en + ∞.

                Soit x > 0

                On a :    - 3 x²  / x²    = - 3     quotient simplifié des termes de plus haut degré

                  f est une fonction rationnelle.

                 On a :    lim f   = lim ( - 3 ) = - 3

                               + ∞       x → + ∞ 

                 Conclusion: 

                                lim f   =  - 3

                                + ∞    

       3. Recherche d'une asympote horizontale éventuelle ( D ).

                On peut déduire de la question précédente que,

                comme f admet une limite finie - 3 en + ∞ ,

                la droite  D : y = - 3  est une asymptote horizontale à

                la courbe( C ) de f en  + ∞.

             Concusion:  C'est la droite D : y = - 3 qui répond à la question.

        4. Donnons les positions relatives de D et ( C ).

            Soit x dans IR.

               f( x ) - ( - 3 ) est du signe de - 2 x  + 5    car    x²  - 2 x + 5  > 0  pour tout réel x.

          Ainsi: 

         • Pour tout x dans  ] - ∞  , 5 / 2 [        f( x ) - ( - 3 ) > 0

         •  Pour tout x dans  ]5 / 2 ,   + ∞ [        f( x ) - ( - 3 ) < 0

        Conlusion:   Sur  ] - ∞  , 5 / 2 [    ( C ) est au dessus de D.

                          Sur   ]5 / 2 ,   + ∞ [   ( C ) est en dessous de D.

     5. Etudions la continuité de f.

           La fonction f est continue sur IR car elle est dérivable, comme fonction

               rationnelle, sur son domaine de définition IR               

             Ainis:  

                     Soit x₀   un réel quelconque.

            Quand x tend vers le réel x₀  on a  f(x) qui tend vers le réel f(x₀ ).

       6. a. Calcul de f '(x ).

                    Soit x dans IR.

                   Soit les fonctions polynomes:

                             u : x  → - 3 x²

                             v :  x  → x² - 2 x + 5

                  Les fonction u et v sont définies et dérivables dans IR.

                   v est non nulle dans IR.

                           u ' : x → - 6 x

                            v '  : x → 2 x - 2

                    Soit x dans IR.    

                   On a:

              b. Donnons le sens de variation de f.

                                 On a vu que   x² - 2 x + 5 > 0  pour tout x dans IR.

                             f ' est du signe de x ( x - 5 )   pour tout x dans IR.

                             Ainsi:

                                Soit x dans IR

                               f'(x )= 0 ssi x = 0 ou x = 5

                                f ' ( x ) > 0 ssi  x < 0 ou x > 5

                                 f ' ( x ) < 0 ssi  0 < x < 5

                     Conclusion :   f est strictement croissante sur les intervalles 

                                           ] - ∞  , 0] et [ 5 , +∞ [.

                                           f est décroissante strictement sur 

                                           l'intervalle [0 ; 5].

          c. Que représente l'axe des abscisses pour ( C) ?

                      La courbe passe par l'origine et f '( 0 ) = 0

                Conclusion : L'axe des abscisses est la tangente à ( C) à l'origine.

       7. Solution de f( x) = - 1.

                  f est définie continue et strictement croissante sur l'intervalle 

                   [ - 3 ; - 1 ].

                    f ( - 3 ) ≈ - 1,35

                    f( - 1 ) ≈ - 0,375

                           Ainsi :    f( - 3 ) < - 1 < f(- 1 )

                  Donc:

                 Conclusion: d'après le th de la bijection l'équation f( x ) = - 1 

                    admet une unique solution sur [ - 3 ; - 1 ]

         8. Donnons les coordonnées du  point A.

              Considérons :      y= f( x ) 

                                               y = - 3    avec x dans IR

           c-à-d              f( x ) = - 3

                                   y = - 3   avec x dans IR

         c-à-d

                               f( x ) + 3 = 0

                              y = - 3           avec x dans IR

       Or on a vu que  pour tout réel x :

        Donc   f ( x ) = 0  quand - 2 x + 5 = 0 c-à-d   quand x = 2 , 5     

                Conclusion:     Le point est A( 2,5 ;- 3 )

    9. Donnons la limite de la fonction g en + ∞.

                Considérons:      x + 3 ≥ 0  et  x + 5 ≥ 0

                            c-à-d            x ≥ - 3  et  x  ≥ - 5

                            c-à-d             x ≥ - 3

                  Donc  g est défine sur [ - 3 , + ∞ [

               + ∞ est une extrémité de l'intervalle de définition.

                        On peut faire la recherche.

                  Soit   x ≥ 0

                    On a :

                Mais          √ x ≤  √( x + 3 ) - √( x + 5 ) 

                     et              lim √x  =  + ∞

                                        x → + ∞

                          Donc d'après un résultat de cours :

                              lim ( √( x + 3 ) - √( x + 5 ) ) =  + ∞

                              x → + ∞

               On en déduit :

             c-à-d

                    Conclusion :    lim g = 0

                                                  x → + ∞

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           EXERCICE 2

           Le plan est muni d’un repère orthonormal direct

           Soient les points A , B, C,  M d’affixes respectives - i ,  1 + i  , - 3 et  z.

           Pour tout nombre complexe z  distinct de 1 + i on pose :

          1. Trouver et représenter l’ensemble  ( D ) des points M tels que   | Z | = 1 .

          2. Trouver et représenter l’ensemble (F ) des points M tels que :

                              arg( Z ) = π / 2   ( 2 π  )

         3. Déterminer  l’affixe du point M tel que Z = i

         4. Mettre sous la forme exponentielle  le nombre complexe

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    REPONSE:       

               Déjà on remarque :

        1. Cherchons( D ).

           | Z | = 1   s'écrit    

              c-à-d      AM = BM

      Conclusion :    L'ensemble ( D ) est la médiatrice du segment [ AB].

     2.  Trouvons l'ensemble ( F ).

              arg( Z ) = π / 2  ( 2 π )

          se traduit par :

         3. Donnons ll'affixe du point M tel que Z = i

             4.Mettons z₁  sous la forme exponentielle.

                  On en déduit :                       

                 EXERCICE 3

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             REPONSE:

    1.  Déterminons les réels a , b , c.

               Conclusion :   a = 1       b = 2     c =  7

       2. Recherchons une asymptote oblique Δ pour la courbe ( C ).

               Conclusion: 

                  La droite Δ: y = x + 2 est une asymptote à la courbe ( C ) de f en + ∞.

         3. Recherchons les positions relatives de ( C ) et Δ.

             Conclusion :

                 Sur ] 2 , + ∞[      la courbe ( C ) de f est au dessus de Δ .

                   Sur ] -  ∞ , 2 [ la courbe ( C ) de f est en dessous de Δ .