INFO EX1 DV n°5 TS1 mardi 27 nov 2012

                   INFO EXERCICE 1   DV     n°5          TS1             Mardi 27 novembre 2012

             41.png

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

           REPONSE:     

             figex1dv5ts1-1.png

           Le plan est muni d'un repère orthonormal

              repouv.gif.

             Soit la fonction

                           fonction-f-ex1dv5ts1.png   

                sur l'intervalle ] 1 , + ∞ [.

             1. Donnons  lim f  .

                                     + ∞

              Si l'on passe tout de suite à la limite on " tombe" sur une forme indéterminée   0 / 0.

             Transformons donc d'abord l'expression de la fonction.

               Soit   x > 1

             On a : 

                modification1.png

                     c-à-d

                  modification2.png

              On peut passer à la limite facilement maintenant.

                   passage1-1.png

                      Ainsi:

                      10.png

                 ( Ici on attend une justification de cette limite )

                   passage2.png

             2. Donnons ( c'est ici une limite en 1+    )

                                limen1.png       

              ( Attention à ne pas prendre la limite de la limite )

               On a :

                  limf1.png

            3. Déterminonsla fonction dérivée  f ' de la fonction f.                 

                  On a:

                                sensdevar.png

                 u est définie et dérivable et non nulle sur l'intervalle ] 1 , +  ∞[

                 car la fonction affine  x → x + 3  est définie et dérivable et strictement

                positive sur l'intervalle  ] 1 , +  ∞[.

                On a:

               fderiv-1.png

              et

                 uprim.png

            Ainsi :

             Conclusion:        sur ] 1 , + ∞  [

                             fprime.png

            • Déduisons le sens de variation de f sur  ] 1 , + ∞ [.

              f ' est  du signe de   - u ' sur l'intervalle   ] 1 , + ∞[

               car   u2 > 0   sur  ] 1 , + ∞ [.

             Or    u ' > 0   sur   ] 1 , +  ∞[.

            Donc               f ' < 0    sur      ] 1 , + ∞ [.

            Conclusion : La fontion f est strictement décroissante sur 

              l'intervalle   ] 1 , +  ∞[.

          5. Donnons l'équation réduite de la tangente à la courbe de f 

              au point d'abscisse 5.

              On a :    y = f ' ( 5 ) ( x - 5 ) + f( 5 )

             Déjà:

               11.png

               c-à-d 

                      14.png

                c-à-d  

                      15.png

            D"autre part :

                   13.png

          Donc   on a :   

                  19.png

                17.png

            6. Soit la fonction k : x  →  √( x + 1) - √( x)  .      

               Déterminons 

                            22.png

                                       39.png

                                 21.png

                                     Or    √( x + 1) +  √( x) >  √( x)

                                      lim   √ x   = + ∞

                                     x → +  ∞

                                     Donc                lim (   √( x + 1) +  √ x  ) =  + ∞

                                                              x → +  ∞ 

                                    On en déduit:

                                       23.png

----------------------------------------------------------------------------------------------------