INFO EX 3 DV n° 5 TS 1 27 nov 2012

                          INFO   EX n ° 3          DV n° 5            27 novembre 2012

           EXERCICE 3

                   Soit la fonction h: x → x4 - x2 - 6 x     sur IR .

                   1. Trouver h( 2 ).

                        Puis résoudre h(x) = 0 dans IR.

                   2. Déterminer la limite de la fonction h en + ∞.

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             Réponse:                   

                   28-1.png        

            1. Calcul de h( 2 ).

                   h( 2 ) = 24 - 22 -  6 × 2 =  16 - 4 - 12 = 0

               Conclusion:      h( 2 ) = 0 

            • Résolvons h( x ) = 0

            On a h( x ) qui est factorisable par  x - 2  car h( 2 ) = 0

            On a aussi h( x ) factorisable par x car le terme constant est nul.

            Donc h( x ) est factorisable par x ( x - 2 )

           Ainsi:    Il existe  trois réels a , b , c tels :

              h( x ) = ( x2 - 2 x  )(  a x 2 + b x + c )   pour tout réel x.

             Cherchons ces trois réels.

             Division de h( x ) par x2 - 2x

        x4              - x2 - 6 x       |  x2 - 2x
  - (  x4  - 2 x3 ) |   x2  +  2 x + 3
      -------------- | 
                2  x3 -  x2  
        - (    2  x3 - 4 x2 )  
              ---------------  
                          3 x2 - 6 x  
                       - ( 3 x2 - 6 x )    
                           -------------  
                                         0  

            On a:     h( x ) = (x2 - 2x ) ( x 2+ 2 x + 3 )  pour tout x dans IR

             h( x ) = 0   ssi     x = 0    ou     x = 2     ou    x 2+ 2 x + 3 = 0

            Résolvons   x 2 + 2 x + 3 = 0

                    Δ ' = b 2- a c         avec   b = 2   et   b ' = 1

                   Δ ' = 1 - 3 = - 2

                   Donc   Δ ' < 0

           Pas de racine pour  x 2 + 2 x + 3 = 0  dans IR.

          Finalement   h( x ) = 0  ssi  x = 0 ou x = 2

            Conclusion :   SIR = { 0 ; 2 }

         3. Donnons la limite de h en + ∞.

                 h est une fonction polynôme.

          Donc      lim ( x4 - x2 - 6 x  ) =  lim x4   = + ∞
                          x →  + ∞                      x →  + ∞

           Conclusion :     lim h( x ) = + ∞

                                     x →  + ∞ 

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