INFO LISTE1 EX LIM-CONT

   INFO LISTE D'EXERCICES SUR LES LIMITES , LA CONTINUITE , LA DERIVATION    nov.2010  TS2

        EXERCICE 1.

               Soit ( C ) la courbe de la fonction

                f : x → (  2 x2 + 3 x ) / ( x + 2 ) 

              dans un repère orthonormal.

              1. Montrer que la courbe ( C ) admet une asymptote oblique D

                 en + ∞ .

              2. Donner les positions relatives de D et ( C ) .

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           Réponse :

             Courbe:

                                      

            1.

          • La fonction  est définie sur ] - ∞ , - 2 [ U ] - 2 , + ∞ [

              + ∞  est une extrémité d'un des intervalles du domaine de définition.

             On peut donc rechercher la limite éventuelle de f en + ∞.

               • Soit x > 0 .

                 Considérons la division :              

2 x² + 3 x |  x + 2
- ( 2 x² + 4 x ) |   2 x - 1
  -------------- |
            - x |
         - ( - x - 2 ) |
      ---------------- |
                        2 |
  |

       Ainsi :     2 x2  + 3 x =   ( x + 2 ) ( 2 x - 1 ) + 2

       Donc:

                    Pour  x distinct de  -  2   on a :

                   ( 2 x2  + 3 x ) / ( x + 2 ) =  2 x - 1   +   2  / ( x + 2 )

        c-à-d

                          f( x )  =   2 x - 1 +   2  / ( x + 2 )

          c-à-d   

                         f( x )  - ( 2 x - 1 ) =   2  / ( x + 2 )

          Mais           lim [  2  / ( x + 2 )   ] = 0

                            x  →  + ∞      

           c-à-d        

                              lim [  f( x )  - ( 2 x - 1 )   ] = 0

                               x  →  + ∞     

           Conclusion :  La droite D : y = 2 x - 1  est une asymptote à la courbe de f

                                      en     + ∞  .   

        2.   Pour cela considérons le signe de  f( x )  - ( 2 x - 1 )  quand x est distinct de - 2:

              Quand   x > - 2         2  / ( x + 2 )  > 0     Donc     f( x )  - ( 2 x - 1 )  > 0           

             Quand    x < - 2         2  / ( x + 2 )  < 0     Donc     f( x )  - ( 2 x - 1 )  < 0

            Conclusion :   

                                             Sur    ] -  2      , + ∞ [    la courbe de f est au dessus de D. 

                                             Sur    ] - ∞    , - 2 [    la courbe de f est en dessous de D.

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         EXERCICE 2.

                 Le plan est muni d'un repère orthonormal.

                 Soit la  fonction f  : x →  √ ( x2 + x + 1 )  définie sur  IR.

                 Chercher     lim ( f( x ) - x ) .

                                     x → + ∞   

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            Réponse:

                              

                      

        •  La fonction f est définie sur IR car  x2 + x + 1 > 0   pour tout x dans IR .

           (     Δ < 0     et    a > 0  )

          comme  + ∞  est une extrémité de l'intervalle de définition on peut

         rechercher la limite éventuelle de f en  + ∞ .

       •   Soit x > 0 .

             Considérons :

                f( x ) - x =  √(x2 + x + 1 )  -   x

           En multipliant par    (√(x2 + x + 1 )  + x  )  /  ( √(x2 + x + 1 )  +   x )

                         c-à-d     par       1  

            on obtient:

                 f( x ) - x = (   √(x2 + x + 1 )  -   x  ) ×  [ (√(x2 + x + 1 )  + x  )  /  ( √(x2 + x + 1 )  +   x ) ]

       c-à-d    f( x ) - x =  [( √(x2 + x + 1 )  -   x  )  × (√(x2 + x + 1 )  + x  ) ]  /  ( √(x2 + x + 1 )  +   x ) ]

        A l'aide d'une égalité remarquable il vient:

                    f( x ) - x = (  ( x2  + x + 1 )  -   x2  ) /  ( √(x2 + x + 1 )  +   x )

          c-à-d              

                     f( x ) - x = (  x + 1 ) /  ( √(x2 + x + 1 )  +   x )

          Factorisons 

                   f( x ) -  x =   [ x ( 1 + 1 / x ) ] /  ( √(x2 ( 1 + ( 1 / x  ) +(  1 / x2  ) )   +   x )

              c-à-d

                     f( x ) -  x   =  [ x ( 1 + 1 / x ) ] /  ( x√( 1 + ( 1 / x  ) +(  1 / x2  ) )   +   x )

              c-à-d    

                    f( x ) -  x   =  [ x ( 1 + 1 / x ) ] /  (   x  [ √( 1 + ( 1 / x  ) +(  1 / x2  ) )   +  1 ]   )

             c-à-d 

                      f( x ) -  x   =  [ ( 1 + 1 / x ) ] /  ( √( 1 + ( 1 / x  ) +(  1 / x2  ) )   +  1   )

          Passons à la limite:

         On a :   lim ( 1 + 1 / x ) = 1        car     li m ( 1 / x  )  = 0

                     x  →  + ∞                                     x  →  + ∞  

        et          lim  ( √( 1 + ( 1 / x  ) +(  1 / x2  ) )   +  1   )  = √( 1 )  + 1  =  2   

                  x  →  + ∞                                                                                           

                  car   li m ( 1 / x2  )  = 0           et     li m ( 1 / x  )  = 0

                           x  →  + ∞                                   x  →  + ∞  

       Donc    lim     [ ( 1 + 1 / x ) ] /  ( √( 1 + ( 1 / x  ) +(  1 / x2  ) )   +  1   )  = 1 / 2

                     x  →  + ∞   

              c-à-d    

              Conclusion:     lim  ( f( x ) - x ) = 1 / 2

                                         x  →  + ∞   

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        EXERCICE 3.          

                  Le plan est muni d'un repère orthonormal.

                  Soit la  fonction f  : x →  √ ( 2 x + 1 )   -  √ ( x + 1 )  

                  Trouver la limite de f en  + ∞ .

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       Réponse:

                        

          •        On doit considérer :          2 x + 1 ≥  0

                                                             et     x + 1  ≥   0

                                                   c-à-d    x  ≥ - 0,5

                          Ainsi  la fonction  f est définie sur l'intervalle [- 0, 5 ; +  ∞ [.

                         +  ∞ est une extrémité de l'intervalle de définition.

                           On  peut faire la recherche d'une limite éventuelle.

        •       Soit x > 0.

             On a:    f( x ) =   √ ( 2 x + 1 )   -  √ ( x + 1 )  

                c-à-d     f( x ) =   √ ( x (  2 + 1 / x )  )  - √ ( x ( 1  + 1 / x ) )  

               c-à-d    f( x ) =   √ ( x )   √  (  2 + 1 / x )  )  - √ ( x )  √ ( 1  + 1 / x ) )  

            c-à-d              en factorisant  √ (x )

                   f( x ) =     √ ( x )   [ √  (  2 + 1 / x )  )  -  √ ( 1  + 1 / x )  ]  

                Or     lim √ ( x ) =   + ∞ 

                          x  →  + ∞ 

                et    lim  (  √  (  2 + 1 / x )  )  -  √ ( 1  + 1 / x ) ) =   √  2   - √ 1   =  √  2   - 1 

                      x  →  + ∞ 

                On a :  √  2   - 1  > 0 

          D'où  

               lim  (   √ ( x ) [ √  (  2 + 1 / x )  )  -  √ ( 1  + 1 / x )  ]   ) =  + ∞ 

                 x  →  + ∞ 

              Conclusion :        lim f( x ) =  + ∞  

                                               x  →  + ∞                

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           EXERCICE 4.   

                      Le plan est muni d'un repère orthonormal.

                      Soit la  fonction f  : x →  √ ( x + 1 )   - √ x 

                      Donner sa limite en  + ∞.

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           Réponse :

                 

        •     f est définie sur IR+  .   

              + ∞ est bien une extrémité de l'intervalle de définition.

             On peut faire la recherche d'une limite éventuelle.

         •    Soit  x > 0

              On a :

               f( x ) =  √ ( x + 1 )   - √ x 

     c-à-d     en multipliant en haut et en bas par l'expression conjuguée

               f( x ) = [ ( √ ( x + 1 )   - √ x ) (   √ ( x + 1 )   + √ x   ) ] /  ( √ ( x + 1 )   + √ x  )

    c-à-d        à l'aide de     ( a - b ) (a + b ) = a² - b²

                      f( x ) =  (  ( x + 1 )   - x   )  /  (  √ ( x + 1 )   + √ x   )  

 c-à-d   

                   f( x ) =   1   /  (  √ ( x + 1 )   + √ x )  

    Comme    √ ( x + 1 )   + √ x   > √ x     

              et        lim √ x  =   + ∞

                           x  →  + ∞   

         on a :      lim  (  √ ( x + 1 )   + √ x   )  =  + ∞ 

                          x  →  + ∞   

        D'où  

             lim (    1   /  (  √ ( x + 1 )   + √ x )    ) = 0

              x  →  + ∞  

           c-à-d

        Conclusion:       lim f( x ) = 0              

                                       x  →  + ∞  

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        EXERCICE 5.   

                       Le plan est muni d'un repère orthonormal.

                      Soit la  fonction f  : x →  sin( 3 x )  / sin( x )

                      Donner la limite de la fonction f en 0.

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      Réponse :

                                   

      •    On  a     sin x  = 0   ssi  x = 0 ( π )

            Ainsi la fonction  f est définie dans  IR - { k π  / k dans Z }.

           0  est une extrémité de deux intervalles du domaine de définition.

          On peut faire la recherche.

     •    Soit x dans ] - π , 0 [ U ] 0 , π[.

         On a :   f( x ) = 3 ( sin( 3 x ) / 3 x ) / ( sin ( x ) / x  )

            Or    lim sin( x ) / x  = 1

                     x → 0

            et     lim ( 3 x ) = 0

                      x → 0

      Donc    lim sin( X ) /  X  = 1         ( avec X = 3 x )

                     X → 0

   Donc    lim [ 3 ( sin( 3 x ) / 3 x ) / ( sin ( x ) / x  )  ] = 3

                 x → 0

            Conclusion :         lim f( x ) =  3

                                     x  →  + ∞   

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         EXERCICE 6.   

                      Soit la fonction f définie sur IR par :

                             f( 0 ) = 0

                            f( x ) = x2  sin ( 1 / x )   si x est dans IR*

                         La fonction f est-elle continue  en 0 ?

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Réponse:

                                         

 

        La fonction f est définie dans IR qui contient 0.

         Pour tout x dans IR* on a : 

                                             - 1 ≤ sin (  1 / x ) ≤ 1

        Comme  x2   ≥  0 on peut en déduire :

       Pur tout x dans IR*         - x2   ≤   x2 sin (  1 / x )   ≤   x2   

           Mais         lim   - x2   = 0        et          lim   x2   = 0 

                              x → 0                               x → 0       

      Donc,  d'après un th. d'encadrement ( Th. des gendarmes ) on peut dire :  

                       lim ( x2 sin (  1 / x )  ) = 0

                        x → 0   

      On a :    f(  0 ) = 0                            

        Conclusion :     lim f( x ) = f( 0 )

                                      x → 0   

                     La fonction f est bien continue en 0      

        EXERCICE 7.          

                          Trouver      lim  cos( x )  / x

                                             x → 0+

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         Réponse:

                                                         

          •   La fonction  f : x→  cos( x )  / x       est définie dans IR*.

            o est donc bien une extrémité de deux intervalles du domaine de définition.

          On peut faire la recherche.

         •  soit x dans IR*.

                On dispose de la formule de première S     cos ( 2 a ) =  1 - 2 sin2 a

             En considérant   :         x = 2 ×( x / 2 )

           Il vient  :            cos( x )  / x   =  [ 1 - 2 sin2 ( x / 2 ) ] / x

            c-à-d                

                 cos( x )  / x   =  1 / x   - 2 sin2 ( x / 2 )  / x 

        c-à-d       cos( x )  / x   =  1 / x   -  sin ( x / 2 ) × sin ( x / 2 ) / (x / 2 )

                    Or            lim sin ( x / 2 ) / (x / 2 )  = 1    

                                    x→ 0

                     et              lim sin ( x / 2 ) = sin 0  = 0

                                      x→ 0

                   et                  lim 1 / x = + ∞ 

                                    x→ 0+

        D'où               lim [  1 / x   -  sin ( x / 2 ) × sin ( x / 2 ) / (x / 2 ) ] = + ∞ 

                                   x → 0

         Conclusion :    lim  cos ( x ) / x  =  + ∞ 

                                       x → 0+ 

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