LISTE1 d'exercices TS1 LIMITES et CONTINUITE

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    EXERCICE 1  ( classique )

                 Soit la fonction

                                         ex1liste1ts.png

                    Le plan est muni d'un repère orthonormal.

                    On note ( C ) la courbe de la fonction f .

                         1. Donner son domaine de définition.

                         2.  Etablir que la courbe ( C ) a une asymptote horizontale D en + ∞ ?

                         3. Donner les positions relatives de ( C ) et de D.

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       REPONSE:

                1. Donnons  le domaine de définition de la fonction f.

                    Résolvons pour cela l'équation  3 x2 - 2 x + 2 =  0     dans IR.

                       Δ ' = b'  2 - a c             avec   b '  = - 1   a = 3    c = 2

        c-à-d        Δ ' = ( - 1 )' 2 - 6 = - 5

        Donc    Δ ' < 0

                      Ainsi: 

                                    3 x2 - 2 x + 2  ≠ 0        pour tout réel x.

                Conclusion :  Df = IR.

              2.   Etablissons que la courbe ( C ) a une asymptote horizontale D en + ∞ ?

                   Soit x > 0 .

                      f   est une fonction  rationnelle.

                     Donnons le quotient simplifié de ses termes de plus haut degré.

                      On a :       2   x2    / (  3 x2  )   =  2 / 3   

                    lim f( x )    =      lim ( 2 / 3 )    =    2 / 3

                   x →  + ∞            x →  + ∞

                Conclusion : L a droite horizontale D : y = 2 / 3  est une asymptote

                                             horizontale à ( C ) en  + ∞.

                                                courbeex1liste1-2.png

               3. Donnons les positions relatives de ( C ) et D.

                     Soit x dans IR.

                   Considérons :

                     Divisons     2 x2 - 3 x + 4    par  3 x2 - 2 x + 2

                              divex1liste1.png

                  Ainsi :   

                                     ex1listequestion3.png

            Soit x ≠ 0

                   On a :      

                    diffex1liste1.png

                      f( x ) - ( 2 / 3 )  est du signe de  - 5 x + 8

                       car       3 x2 - 2 x + 2 > 0        pour tout x dans IR

                      On a:       - 5 x + 8 > 0   ssi    x <  8 / 5 

                                       - 5 x + 8 < 0    ssi    x > 8 / 5

                      Ainsi :               f( x ) - ( 2 / 3 )  > 0  quand    x < 8 / 5

                                                 f( x ) - ( 2 / 3 ) < 0 quand x > 8 / 5

                    Conclusion:    Sur l'intervalle ] - ∞, 8 / 5 [    ( C ) est au dessus de D

                                           Sur l'intervalle ] 8 / 5  ,  + ∞ [      ( C ) est au dessous de D

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               EXERCICE 2:

                  enonce-ex2-liste-i-d-exercices.png

                                  4. Montrer que la courbe ( C ) admet une asymptoteverticale  D.

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             REPONSE:

                debutcourbeex2listei.png            

    1.  Déterminons les réels a , b , c.

         debutex1listei.png   

               Conclusion :   a = 1       b = 2     c =  7

       2. Recherchons une asymptote oblique Δ pour la courbe ( C ).

                          debutex2-2listei.png

               Conclusion: 

                  La droite Δ: y = x + 2 est une asymptote à la courbe ( C ) de f en + ∞.

         3. Recherchons les positions relatives de ( C ) et Δ.

                                debutex2-2-2listei.png

             Conclusion :

                 Sur ] 2 , + ∞[      la courbe ( C ) de f est au dessus de Δ .

                   Sur ] -  ∞ , 2 [ la courbe ( C ) de f est en dessous de Δ .

       3. Montrons que la courbe ( C ) admet une asymptote verticale.

                           debutex2-2-3listei.png

               Conclusion:

                 La droite verticale D: x = 2 est une asymptote verticale à la courbe ( C ) de f.

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      EXERCICE 3

           Soit la fonction   f : x →  2 x 2   / ( x3 + 8 )

           Soit ( C ) sa courbe dans un repère orthonormal du plan.

             1. Etablir qu'elle est définie sur IR - { - 2 }.

              2. Justifier la présence pour ( C ) d'une asymptote D en + ∞  .

              3. Donner les positions relativs de d et ( C ).

               4. Montrer que ( C ) admet une asymptote verticaleΔ d'équation x = - 2 . 

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