INFO TP 1 TS1 nov 2012 LIMITES CONTINUITE

                                  INFO  TP     nov. 2012   TS1

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             EXERCICE 2

                 Soit la fonction  h  : x →  ( - x³ + 3 x² + 5 x ) / ( x⁴ - 3 x² - 4 )

                   • Montrer que D_h = IR - { - 2 ; 2 } 

                   • Trouver     lim h              et       lim h

                                     x → - ∞                       x → + ∞  

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     REPONSE  :

        •  Montrons  que   D_h = IR - { - 2 ; 2 }

              Résolvons  x⁴ -  3 x² -  4  =  0  dans IR

              C'est une équation bicarrée.

              Considérons :

                                      Conclusion : D_h =  IR - { - 2 ; 2 }

           •  Trouvons     lim h           et       lim h

                                  x → - ∞                  x → + ∞ 

             Donnons quotient simplifié de la fonction rationnelle h

              Soit x < - 2    ou       x > 2  

                     On a :                    - x³  /  x⁴     = - 1 / x 

           Or        lim  h    =   lim  - 1 / x      =  0               et          lim  h    =   lim  - 1 / x      =  0 

                         - ∞                x →  - ∞                                           + ∞             x →  + ∞   

                   Conclusion :       lim h = 0                et             lim h = 0

                                                  x →  - ∞                               x →  + ∞ 

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         EXERCICE 3

                soit la fonction g : x → √(  2 x + 1 )  - √x

                Donner sa limite en + ∞.

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     REPONSE: 

             Soit x > 0

          On a :     g( x ) =      √( x (  2  + 1/ x ) )  - √x   =   √( x) ×  √(  2  + 1/ x )   - √x

          c-à-d             en factorisant  √x

             g( x ) =  √x  [     √(  2  + 1 / x )    -  1 ]

           On a  :     lim (  2  + 1 / x ) = 2

                             x →  +  ∞

            et         lim   √x    =   √ 2      (  continuité de  la fonction√  en 2 )            

                        x → 2 

          Donc       lim    √(  2  + 1 / x )  = √ 2

                         x →  +  ∞

         Ainsi       lim  [  √(  2  + 1 / x )    -  1 ] =   √ 2   - 1         √ 2   - 1 > 0

                         x →  +  ∞

         D'où     lim(  √x  [     √(  2  + 1 / x )    -  1 ] )  = (  +  ∞ ) × ( √ 2   - 1 ) =  +  ∞

                        x →  +  ∞

                        Conclusion  :    lim g =   +  ∞

                                                  x →  +  ∞

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           EXERCICE 4

                  Soit la fonction    h : x → √ ( x + 1 ) - √ x   

                   1. Montrer que  0 < h(  x) < √ ( x + 1 )          pour tout   x > 0 .

                   2. Vérifier que :    h( x ) = 1 / ( √ ( x + 1 ) + √ x   )        pour tout   x > 0  .

                   3.  Vérifier que :  0 < h( x ) < 1 /  √ x             pour tout  x > 0   .         

                  4. Trouver    lim  h

                                         + ∞  

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             REPONSE:

            Un exercice avec la même fonction  x → √ ( x + 1 ) - √ x  demandant sa limite en + ∞ 

           se trouve corrigé avec une autre démarche dans EXERCICE 4   à la rubrique:

                  http://www.mathemaths.com/pages/ts-lecon-n-3-limites-continuite/info-liste1-ex-lim-cont.html

       1. Montrons que  0 < h(  x) < √ ( x + 1 )          pour tout   x > 0 .

                            Soit x > 0 .

                • On a donc :    0 <  x <  x + 1  

                     Or  la fonction √    est strictement croissante sur les réels positifs

                    Donc  on a :    √ x  <  √ ( x + 1 )      

                c-à-d

                         0 < √ ( x + 1 ) - √ x 

                 c-à-d

                           0 <  h( x )  

                •  D'autre part    √ x > 0

                    c-à-d                               -  √ x < 0

                  Ainsi               √ ( x + 1 ) - √ x   <   √ ( x + 1 )

              c-à-d      h( x ) < √ ( x + 1 ) 

               Finalement on a bien l'encadrement demandé.

                Conclusion :     0 <  h( x ) <   √ ( x + 1 )  pour tout x > 0

      2.   Vérifions que :    h( x ) = 1 / ( √ ( x + 1 ) + √ x   )        pour tout   x > 0  .

             Soit   x > 0 .

              On a :

                 h( x ) =  √ ( x + 1 )   - √ x 

         Comme on nous demande simplement une vérification il nous suffit de constater deux choses:

                               •  √ ( x + 1 ) + √ x   ≠ 0     vrai    car  √ ( x + 1 ) > 0    et  √ x > 0

                               •    (  √ ( x + 1 )   - √ x  ) (    √ ( x + 1 )   + √ x )   = 1    vrai  car

                                            à l'aide de     ( a - b ) (a + b ) = a² - b²  

        on a:       (  √ ( x + 1 )   - √ x  ) (   √ ( x + 1 )   + √ x )   =    [ √ ( x + 1 ) ]²    -  [ √ x  ]²    =  x + 1 - x   = 1

              Conclusion : OUI.   h( x ) = 1 / ( √ ( x + 1 ) + √ x   )        pour tout   x > 0  .

             3.   Vérifions que :  0 < h( x ) < 1 /  √ x             pour tout  x > 0   .   

                  Soit  x > 0

                           •    0 < h( x )         connu dès la première question .  

                           •   On a :      h( x )  = 1 / (   √ ( x + 1 )   +  √ x    )       et       √ ( x + 1 ) > 0  

                             Ainsi        √ ( x + 1 )   +  √ x     >    √ x      

              Comme la fonction inverse est strictement décroissante sur  l'intervalle ] 0 , + ∞ [ 

               on a :    1 / (     √ ( x + 1 )   +  √ x   )   < 1 /  √ x      

              c-à-d       h( x ) <   1 /  √ x     

                Finalement on a bien l'encadrement.

                 Conclusion :    0 < h( x ) < 1 /  √ x             pour tout  x > 0   .  

             4 .   Trouver    lim  h

                                         + ∞ 

                    Utilisons le Th. des gendarmes.

                     On a :              lim  (   1 /  √ x    ) = 0

                                             x → + ∞ 

                       et                    0 <   h( x ) <    1 /  √ x             pour tout  x > 0   .

                   Conclusion :           lim  h =  0

                                                      + ∞ 

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      EXERCICE 5:

             Soit la fonction f : x →  √ ( 1 + x²  )

             Montrer que pour tout réel non nul x on a :

           En déduire la dérivabilité de f en 0 et trouver f '( 0 ) .

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       REPONSE:

               Montrons  que pour tout réel x non nul :

              Soit  x ≠ 0 

               On a :

                 Conclusion : On a bien l'égalité

                On a :     lim x²   = 0

                               x → 0

                  Ainsi:

               Ainsi:

            Conclusion:   f est dérivable en 0.

                                   Son nombre dérivé en 0 est 0

               La tangente à la courbe de f en 0 est horizontale.

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