COURS: DERIVATION DE LA COMPOSEE DE DEUX FONCTIONS

                              COURS    DERIVATION DE LA COMPOSEE DE DEUX FONCTIONS    TS     Déc. 2011

         • RESULTAT 1 ( Admis )

           Soit u une fonction définie et dérivable dans un intervalle  I   et à valeurs dans

           un intervalle J.

           Soit v une fonction définie et dérivable  dans l'intervalle J.

           ALORS:

           La fonction v o u   est définie et dérivable dans l'intervalle I.

           De plus :      ( v o u ) '  =  u '  ×   v 'o u           sur  I

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         •EXEMPLE 

                    Soit la fonction f : → ( x + 1 )3   

                    Donner Df  , Dd    et f ' .

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     REPONSE:

       Un peu plus loin une proposition permettra d'aller plus vite.

        Soit    u : x →  x + 1     et    v : x →  x 3    

        La fonction affine u est définie et dérivable dans IR

        La fonction polynôme v est aussi définie et dérivable dans IR.

        Donc la fonction v o u  c'est-à-dire  f est définie et dérivable dans IR.

           Conclusion :   Df  = Dd  = IR

        De plus:      f ' = ( v o u ) ' =   u '   ×  v ' o u        sur IR.

         On a :  u ' :  x  →  1     et    v '  : x  →   3 x2  

          D'où     f ' :  x →   1 ×  3 ( x + 1 )2  

        Conclusion :   f '  : x  →    3 ( x + 1 )2        sur IR

                     ( à laisser sous forme factorisée )

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  • RESULTAT 2

        Soit u une fonction définie et dérivable et

                  strictement positive dans un intervalle I.

         alors   la fonction √u  

                  c-à-d   √ o u  est définie et dérivable dans I

                               et l'on a  sur I:

                                 50.png                 

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     EXPLICATION:  

         Il suffit d'utiliser le RESULTAT 1  avec  une fonction u 

         définie dérivable et strictement positive sur un intervalle

         et choisir  la fonction v = √    en sachant que la fonction √

          est définie sur  IR+  et  dérivable sur IR*+  de fonction dérivée

                                  52-1.png

         v o u   , c'est-à-dire,  √u   est alors définie et dérivable dans  IR*+  . 

            De plus     ( v o u ) '  =  u '  ×   v 'o u      devient

                                51.png

                 c-à-d 

                                     50.png

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    • RESULTAT 3

       Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.

        Soit n un entier  tel que n > 1.

       Alors la fonction un   est définie et dérivable dans I .

          De plus       ( un ) ' =    n   u'   ×  un - 1        sur I 

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   EXPLICATION :  

           Il  suffit d'utiliser le RESULTAT 1  avec les fonctions 

           u définie et dérivable sur l'intervalle I  et   v :  x  →  xn    définie

           et dérivable dans IR de fonction dérivée v ' : x  →  n x n  - 1  

            avec  n   dans IN* .

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    • RESULTAT 4

        Soit u une fonction définie et dérivable et non nulle sur un intervalle I.

        Soit n un entier tel que n < 0.

       . Alors la fonction un   est définie et dérivable dans I

        De plus   ( un ) ' = n  u '  ×  un - 1        sur I

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      EXPLICATION                   

             Il  suffit d'utiliser le RESULTAT 1  avec les fonctions 

           u définie et dérivable non nulle sur l'intervalle I  

           et   v :  x  →  xn       ( avec n  entier strictement négatif)

              définie  et dérivable dans IR* ,  de fonction dérivée

               v ' : x  →  n x n  - 1     

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