DS n° 3 15 / 11 / 14 TS1

            DS  n° 3             TS1                2 h               15/11/14

          EXERCICE 1    de BAC

             On définit, pour tout entier naturel n, les nombres complexes zn par:

                        7912gk       

                                 On note rn  le module du nombre complexe zn  :   rn = | zn |

                                Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct d'origine O, on considère

                                 les points An , d'affixes zn.

             1. a. Calculez   z1 , z2 et z3 . 

                 b. Placer les points  A1 et A2 sur le graphique ci-dessous.

                       Fig1 ds 3 15nov2014

                c. Ecrire le nombre complexe

                     47 der 

                     sous forme trigonométrique.             

                d. Montrer que le triangle OA0A1  est isocèle rectangle en A1 .                       

            2. Démontrer que la suite ( rn ) est géométrique, de raison

                      171vl  .

                La suite ( rn )  est-elle convergente ?

                Interpréter géométriquement le résultat précédent.

                 On note Ln la longueur  de la ligne brisée qui relie le points  A0 au point An  en

                 passant successivement par les points A1 , A2 , A3  etc. 

                 Ainsi :

                  147rtp

            3. a. Démontrer que , pour tout entier naturel n ,  An An+1 = rn + 1 .           

                b . Donner une expression de Ln en fonction de n.       

                c . Déterminer la limite éventuelle de la suite ( Ln ) .                

------------------------------------------------------------------------------------------------------   

        EXERCICE 2  

           Partie A

                   1. Soit deux fonctions v et w définies et dérivables dans IR 

                       qui vérifient les deux conditions suivantes:   

                                   •  v ' - w '   = 0     sur   IR

                                   • v( 0 ) = w( 0 )

                        Que peut-on dire des fonctions v et w ? Justifier.

                     2. Soit g une fonction définie et continue sur IR telle que :

                                 g( 0 ) = 1 

                                 g( x ) ≠ 0   pour tout x dans IR

                         a. Peut-il exister deux nombres réels a et b tels que 0 soit compris entre g( a ) et g(  b ) ?

                            ( Justifier. On pourra utiliser le Th. des valeurs intermédiaires. )

                         b. Que peut-on en déduire quant au signe de g( x ) pour tout x dans IR ?   Justifier.

         Partie  B

                Soit la fonction rationnelle f définie pour tout réel distinct de 1 par :

                                     4sjdf 

                Soit ( C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.   

                     45gso 2

          1. Calculer sa fonction dérivée f ' .

          2. En déduire le sens de variation de la fonction f.

          3. a. Justifier l'existence d'une unique solution α pour l'équation f( x ) = 6

                  sur l'intervalle [4 ; 5 ] .

              b. Retrouver par le calcul la valeur exacte de α .

           4. a. Donner les limites de f aux extrémités de ses intervalles de définition.

               b. La courbe ( C ) de f admet-elle une asymptote verticale? 

           5. Donner une équation de la tangente ( T ) à la courbe ( C ) au point d'abscisse x = 3

           6. Calculer f( x ) − ( x + 1 )  pour  x  nombre réel autre que 1.

               Déterminer     lim ( f( x ) − ( x + 1 ) )

                                     x → + ∞

------------------------------------------------------------------------------------------------------------