INFO DS n° 3 15/11/14 TS1

                            INFO    DS  n° 3             TS1                2 h               15/11/14

          EXERCICE 1    BAC

             On définit, pour tout entier naturel n, les nombres complexes z_n par:

             On note r_n  le module du nombre complexe z_n  :   r_n = | z_n |

             Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct d'origine O, on considère

             les points A_n , d'affixes z_n.

             1 . a. Calculez   z₁ , z₂ et z₃ .

                 REPONSE:

           On a :            z₀ = 16

                        et   z_{n + 1} = 0,5 ( 1 + i ) z_n    pour tout entier naturel n.

               Donc :

        Conclusion:             z₁  =  8  + 8 i

                Conclusion:                     z₂ =    8 i

                Conclusion :        z₃  = − 4 + 4 i 

        b. Placer les points  A₁ et A₂ sur le graphique à la fin du sujet.

            REPONSE:

                      On a :

      c. Ecrire le nombre complexe 0,5 + 0,5 i sous forme trigonométrique.             

           REPONSE:

                     On a :   

                Considérons:

                  cos θ =  √2  / 2

                  sin θ   = √ 2  / 2

                   θ = π / 4   convient 

             1 + i = √ 2  ( cos ( π / 4 ) + i sin ( π / 4 ) )

    Conclusion:

      d. Montrer que le triangle OA₀A₁  est isocèle rectangle en A₁ .

             Comme ces trois points sont deux à deux distincts, 

              il faut et il suffit de montrer pour cela que 

              l'angle en A₁  est droit et les distance A₁ O et  A₁ A_O   sont égales  c-à-d

                 et

     c-à-d   montrons que :

           Mettons d'abord sous la forme exponentielle le nombre complexe non nul 

              On a :

              c-à-d

                        Donc :

               La c.n.s  (condition nécessaire et suffisante ) est prouvée.

               Conclusion :   Le résultat est avéré.

   2. Démontrer que la suite ( r_n ) est géométrique, de raison  √ 2  / 2 .

             La suite ( r_n )  est-elle convergente ?

          Interpréter géométriquement le résultat précédent.

            On note L_n la longueur  de la ligne brisée qui relie le points  A₀ au point A_n  en

           passant successivement par les points A₁ , A₂ , A₃  etc. 

             Ainsi :

            REPONSE:

            On a:

               Conclusion: La suite ( r_n ) est géométrique de raison √2 / 2

            On a :   r₀ = | z₀  | = | 16 | = 16

           Donc         r_n = 16 ( √ 2 /  2 )ⁿ     pour tout entier naturel n

            Comme     − < √2 / 2 < 1  

             on a     lim ( √ 2  / 2  )ⁿ = 0

                         n →  + ∞

          Donc :

           Conclusion : La suite  ( r_n ) converge  vers0.        

          Comme   r_n = | z_n   |   on a  r _n = OA_n

            on a      lim OA_n = 0

                            n → + ∞

       Conclusion:

        On peut donc dire que le point A_n  tend vers l'origine O du repère.

       quand n devient très grand

     3. a. Démontrer que , pour tout entier naturel n ,  A_n A_n+1 = r_{n + 1} .

             On a pour tout entier naturel n :

                et            | z_n | = r_n

            Ainsi :      A_n A_{n + 1} = r_n   × √2 / 2  =  r_{n + 1}

            Conclusion:        A_n A_{n + 1}  = r_{n + 1}

                 pour tout entier naturel n         

       b . Donner une expression de L_n en fonction de n.

            On a :

             Mais   A₀ A₁  = r₁     ,    ...etc     ....   ,    A_n -1 A_n = r_n

               Donc         L_n =r₁ + r₂ + ..... + r_n 

             On a la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison

             √2 / 2  distinct de 1 avec  r₁ = ( √2  / 2 ) r₀  = 8 √2 

               Donc

          Conclusion:

   c . Déterminer la limite éventuelle de la suite ( L_n ) .         

         On a :

                     Conclusion:  

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             EXERCICE 2  

           Partie A

                   1. Soit deux fonctions v et w définies et dérivables dans IR 

                       qui vérifient les deux conditions suivantes:   

                                   •  v ' - w '   = 0     sur   IR

                                   • v( 0 ) = w( 0 )

                        Que peut-on dire des fonctions v et w ? Justifier.

                  REPONSE:

       La fonction v − w est définie et dérivable dans IR comme somme de telles fonctions .

                        On a:

                                     ( v − w ) ' = v ' - w ' = 0     sur IR

                         Donc    déjà  v - w est une fonction constante sur IR.

                         Mais   ( v - w ) ( 0 ) = v( 0 ) - w( 0 ) = 0

                                Donc    v - w est la fonction nulle sur IR

                  Conclusion:  Les fonctions v et w sont égales sur IR

       2. Soit g une fonction définie et continue sur IR telle que :

                                 g( 0 ) = 1 

                                 g( x ) ≠ 0   pour tout x dans IR

         a. Peut-il exister deux nombres réels a et b tels que 0 soit compris entre g( a ) et g(  b ) ?

                ( Justifier. On pourra utiliser le Th. des valeurs intermédiaires. ): 

               REPONSE:

                   NON 

               En effet.

         Si c'était le cas , d'après le Th. des valeurs intermédiaires, comme  g est définie continue

        et 0 compris entre g( a ) et g( b ) il existerait au moins un réel α compris entre a et b 

        où g s'annulerait.   Ce qui est impossible d'après les hypothèses.

          b. Que peut-on en déduire quant au signe de g( x ) pour tout x dans IR ?   Justifier.

                 REPONSE:

              Comme dans IR  g ne peut pas prendre de valeurs de signes contraires et ne s'annule pas 

                g est soit strictement positive sur IR soit strictement négative sur IR.

                  Or    g( 0 ) = 1

                      Conclusion:    g > 0      sur IR

         Partie  B

                Soit la fonction rationnelle f définie pour tout réel distinct de 1 par :

                Soit ( C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.                       

          1. Calculer sa fonction dérivée f ' .

              REPONSE:

               Comme fonction rationnelle définie sur IR− { 1 } , f est dérivable sur les

               intervalles   ] − ∞ , 1 [ U ] 1 , +∞ [.

                Soit x ≠ 1

                  f ' ( x ) = (  ( x − 1 ) × 2 x  − x²  × 1 ) / ( x − 1 )²   

                 c-à-d

                     f ' ( x ) = ( 2 x²  − 2 x − x²  ) ( x − 1 )²     

               c-à-d 

                       f ' x ) = (  x² − 2 x ) / ( x − 1 )²      

              c-à-d

                Conclusion :       f '( x ) =  x ( x − 2 )  / ( x − 1 )²   

                f ' ( x ) est du signe du trinôme du second degré  x ( x − 2 ) sur   IR − { 1 }

          2. En déduire le sens de variation de f.

            •   f ' x ) = 0  ssi  x = 0 ou x = 2

            • f ' > 0 sur   ] − ∞ , 0 [ U ] 2 , + ∞ [

             • f ' < sur    ] 0 , 1 [ U ] 1 , 2 [

              Conclusion :  f est strictement croissante sur les intervalles

                                     ] - ∞ , 0 ] et [ 2 , + ∞ [

                                     f est strictement décroissante sur les intervalles

                                 [ 0 , 1 [ et ] 1 , 2 ]        

          3. a. Justifier l'existence d'une unique solution α pour l'équation f( x ) = 6

                  sur l'intervalle [4 , 5 ] .

                  REPONSE:

                f est définie et continue et strictement croissante sur l'intervalle [4,5 ].

                f( 4 ) = 16 / 3            f( 5 ) = 25 / 4

               Donc     f (4 ) ≈ 5,33               f( 5 ) ≈ 6,25

               On a    6 compris entre f(  4 )   et f( 5 ).

               D'après le corollaire du Th des valeurs intermédiaires on a :

        Conclusion :  L'équation f( x ) = 6 admet une unique solution α dans l'intervalle [ 4 , 5 ] 

              b. Retrouver par le calcul la valeur exacte de α .

                 REPONSE:

                   Soit x ≠1.

                  f( x ) = 6 se traduit par  x² / ( x − 1 ) = 6

                 c-à-d     x² = 6 ( x - 1 ) 

                  c-à-d           x² = 6 x - 6 

                  c-à-d           x² - 6 x + 6 = 0

               On a:        Δ ' = b' ²- ac   avec  b ' = - 3 

                 Donc        Δ ' = 9 - 6  = 3

                 Δ ' > 0

                Les racine dans IR sont :

                     (− b ' - √ Δ '  ) / a = 3 - √3

                   et   ( - b ' + √ Δ '  ) / a   3 +√3

                     3 + √ 3  ≈ 4,7    valeur dans l'intervalle [ 4 , 5 ]

              Conclusion :   L'unique solution de f( x ) = 6 dans l'intervalle ( 4 , 5 ] est

                                          3 + √ 3 

          4. a. Donner les limites de f aux extrémités de ses intervalles de définitions.

                REPONSE :

                  • En + ∞.             f est une fonction rationnelle dont le quotient simplifié de ses

                                                 termes de plus haut degré est x.

                                       Ainsi :        lim f   = + ∞

                                                         + ∞                                  

                  • En - ∞ .                    Pour la même raison:

                                                    lim f = − ∞ 

                                                    − ∞      

                  • En 1 à gauche et à droite.

                     On a :   lim ( x² / ( x - 1 ) ) = 1 / 0⁺   = + ∞

                                  x → 1⁺   

                         et     lim ( x / ( x - 1 ) ) = 1 / 0 ⁻    = − ∞

                                 x → 1 ⁻       

                         Conclusion :            lim f = + ∞    et  lim f = − ∞ 

                                                           1⁺                        1 ⁻

               b. La courbe ( C ) de f admet-elle une asymptote verticale? 

             REPONSE: 

              Comme   lim f ( x ) =  −  ∞    et   lim  f( x ) = + ∞

                              x  →  1⁻                          x →  1⁺  

                Conclusion:   La droite d'équation x = 1 st une asymptote verticale

                                    pour la courbe ( C ) de f .

           5. Donner une équation de la tangente T à la courbe ( C ) au point d'abscisse x =  3.

                 REPONSE:

                   Considérons   y =  f '(  3 ) ( x - 3 ) + f ( 3 )

                   On a :     f ' ( 3 ) = 3 / 4              et         f( 3  ) =  9 / 2

            Donc une équation de la tangente est:

                               y = ( 3 / 4 ) ( x - 3 ) + 9 / 2

              c-à-d  

                                      y = 0,75 x -  9 / 4 + 9 / 2

           c-à-d

                 Conclusion : Une équationde de T est     y = 0,75 x + 9 / 4

           6. Calculer f( x ) − ( x + 1 )  pour  x  nombre réel autre que 1.

               Déterminer     lim ( f( x ) − ( x + 1 ) )

                                     x → + ∞

               REPONSE:

               •  Soit x ≠ 1.

                        On a :

                      f ( x )  = x² / ( x − 1 )    = ( x² - 1  + 1 ) / ( x − 1 )

                  c-à-d

                          f( x ) = (  ( x −  1 ) ( x + 1  ) + 1 ) / ( x − 1 )  = x + 1  +  1 / ( x − 1 )

                 c-à-d  

                  Conclusion :            f ( x ) − ( x + 1 ) =   1 / ( x − 1 )  pour tout x distinct de 1 

              •  On a :     li m(  1 / ( x - 1 )  )  =  lim 1 / x   = 0

                                   x  → +  ∞                x  → +   ∞ 

                        Donc   : 

                Conclusion :     lim ( f( x ) - ( x + 1 ) ) = 0

                                          x →  + ∞

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                  Courbe de la fonction f de l'EXERCICE 2

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              Nom :   ....................         EXERCICE 1  Question :  1.b