DV n° 6 TS1 18 décembre 2012

                    DV  n° 6          TS1            donné  le    4 / 12 / 12  pour le     18  /12 / 2012           

 

         EXERCICE 1

             1.

                   a1.png 

                a. Montrer que:

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                     c'est-à-dire  que la suite  ( un )   est bornée par 0 et 1 sur IN*.

                b. Montrer que la suite ( un )   admet une limite et que :     

                               a4.png 

              2.

                             a6.png 

                    a. Montrer que :

                              a7.png

                   b. Montrer que:

                                   a8.png

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               AIDE: 

             1. Pour la question 1.a. :

                       On pourra utiliser une récurrence sur IN*.

              2. Pour la question 1.b.  on pourra utiliser l'une des deux démarches.

                     ## Première démarche:

                        •Comparer les premiers termes de la suite pour proposer une conjecture

                         sur le sens de variation de la suite   ( un ).

                        • Prouver par récurrence cette conjecture.

                        • Puis  se souvenir du résultat de cours:

                        "Toute suite décroissante et minorée converge et

                          toute suite croisante et majorée converge"

                        • Utiliser le fait  que la limite finie L d'une suite récurrente  ( un )

                         comportant la relation de récurrence   un+1 = f( un ) avec  f une fonction définie et 

                          continue en L  , vérifie  L = f( L ).

                         Etablir alors que :

                                                     a4.png

                    ## Seconde démarche.

                            Montrer par récurence quepour tout n dans IN :

                                        a5.png

                          En utilisant la limite de la composée de deux fonctions 

                          établir :

                                        a4.png

                  3. Pour la seconde question:         

                        On pourra montrer l'égalité par récurrence sur IN*.

                        Il n'est pas ici nécessaire de regarder si la suite ( vn )

                         est à termes positifs  ou à termes négatifs car

                          x2   = 0   ssi x = 0

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             EXERCICE 2

                   Le plan est muni d'un repère orthogonal.

                      a10.png

                   On note ( C ) la courbe représentative de f.

         1. Montrer que la fonction f est continue dans IR.

         2. Montrer que la fonction f est paire.

              Que peut-on en déduire pour la courbe?

         3. a. On admet que la fonction f est dérivable en 0.

                  Montrer que la fonction f est dérivable sur IR.

             b. On note  f ' la fonction dérivée de f.

                  Calculer f ' ( x ) pour x non nul.

            c. Montrer que pour x > 0 ,  f '( x ) est du signe de x cos x - sin x.

       4.a.

           a11.png

           Etudier les variations de la fonction g sur l'intervalle [ 0 ; 2 π ].

           En déduire le signe de g sur l'intervalle  [ 0 ; 2 π ].

            On donnera une valeur approchée à 10-1 près de la valeur strictement

            positive α telle que g( α ) = 0.

             b. Dresser le tableau de variation de f sur l'intervalle  [ 0 ; 2 π ].

       5.  Soit H1  et H2    les courbes représentatives  des fonctions définies sur IR*

            respectivement par:

                              a12.png

                              h2( x ) = - h1( x ) 

              a.  Donner les coordonnées des points d'intersection de ( C )

                   avec H1 et avec  H2  pour x dans l'intervalle ] 0 , 2 π ]. 

              b. Tracer  H1  ,  H2   et  ( C ) sur l'intervalle  [ -  π , 3 π] privé de 0.

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              EXERCICE 3

                Le plan est muni d'un repère au moins orthogonal.       

                          a9.png

                  Soit ( C ) la courbe de la fonction f.

                a .Déterminer les coordonnées des points d'intersection de

                    la courbe ( C ) avec l'axe des abscisses.

                 b. Déterminer les coordonnées des points de la courbe ( C )

                     où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.

                c.  Vérifier graphiquement les résultats des deux questions

                      précédentes.

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              AIDE:

              •Pour le a.

                   Considérer les points de coordonnées ( x , f ( x ) )  avec  f ( x ) = 0.

                  On résoudra dans IR  l'équation sin ( 5 x ) = 0  pour avoir les abscisses

                  des points recherché.

                 •Pour le b.

                    Considérer les points de coordonnées ( x , f ( x ) )  avec  f ' ( x ) = 0.              

                    On résoudra dans IR  l'équation f ' ( x ) = 0  pour avoir les abscisses

                    des points recherché. On trouvera ensuite l'ordonnée de ces points.

                    •Pour le c.

                           Il est inutile de chercher le sens de variation de f.

                           Mais il sera utile de réduire au maximum l'amplitude de l'intervalle 

                           sur lequel on trace la courbe.

                           Il sera donc intéressant de voir la période de la fonction f  et sa parité

                          avant de se lancer dans la représentation de ( C).

                          Si f est définie sur IR périodique de période T  ( T > 0 ) on prendra

                          d'abord l'intevalle [ - T / 2 , T / 2 ].

                          Si en plus f est soit paire ou impaire on prendra l'intervalle [ 0 , T / 2 ].

                          C'est sur  [ 0 , T / 2 ]  qu'il faudra tracer la courbe.

                         Rappel:  

                                            Soit w  un nombre réel non nul.

                           Les fonctions

                          a13.png 

                      sont définie sur IR et périodiques de période  T = 2 π / w

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