INFO EX SUR LA SUR METHODE D'EULER

           INFO   EX SUR L'UTILISATION DE   LA METHODE D'EULER       TS1    novembre 2014

    EXERCICE 

       On dispose, au sujet d'une fonction f , de trois  informations seulement:

                    •  f est définie et dérivable sur IR.

                    •  f ( 1 ) = 0

                    •  f ' ( x ) = − 2 x + 4     pour tout x dans IR.

        On ne dispose pas de l'expression de f.

  Le but est de visualiser sa courbe approchée par une ligne "brisée" sur l'intervalle [ 1 , 4 ].

         Pour cela on considère un pas h = 0,5  ici.       

         On utilise dans la méthode d'Euler l'approximation suivante :    

                    f ( a + h ) ≈ f ( a ) + h f '( a )   

        1. Compléter le tableau:

   x   =   1        1,5   2       2,5       3        3,5     4     
  f ' ( x ) =                  
f ( x ) ≈     0            

         2. Placer les points approchés obtenus dans un repère orthonormal.

                 Puis tracer la ligne brisée.

         3. Directement, avec les informations de départ, pouvait-on obtenir  l'expression de f ?

               Tracer alors la véritable courbe de f  dans le même repère.

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     REPONSE:

     1. Complétons: 

   x   =   1        1,5   2       2,5       3        3,5     4     
  f ' ( x ) =       2      1    0    − 1   − 2   − 3   − 4 
f ( x ) ≈     0    1    1,5  1,5  1       0  

 

− 1,5  

    f ' ( 1 ) = − 2 × 1 + 4 = 2  

   f ( 1, 5 ) = f ( 1 + 0, 5 ) ≈  f( 1 ) + 0, 5 × f ' ( 1 )       Donc   f ( 1 , 5 ) ≈ 0 + 0, 5 × 2    c-à-d    f ( 1, 5 ) ≈   1  

   f ' ( 1,5 ) = − 2 × 1,5 + 4 =  1 

   f( 2 ) = f ( 1,5 + 0,5 ) ≈ f ( 1,5 ) + 0,5 × f ' ( 1,5 )  Donc   f( 2 ) ≈ 1 + 0,5 × 1    c-à-d   f ( 2 ) ≈ 1,5 

   f ' ( 2 ) =  − 2 × 2 + 4 =   0 

   f ( 2, 5 ) = f ( 2 + 0, 5 ) ≈ f( 2 ) + 0,5 × f ' ( 2 )     Donc  f ( 2, 5) ≈ 1,5 + 0,5 × 0   c-à-d  f( 2,5 ) ≈ 1,5

   f ' ( 2,5 ) = − 2 × 2,5 + 4 = − 1  

   f ( 3 ) = f( 2,5 + 0,5 ) ≈ f( 2,5 ) + 0,5 × f ' ( 2, 5 )   Donc  f ( 3 ) ≈ 1,5 + 0,5 × ( − 1 )  c-à-d  f(3 ) ≈   1 

  f ' ( 3 ) = − 2 × 3 + 4 = − 2 

 f ( 3,5)= f( 3 + 0,5 ) ≈ f ( 3 ) + 0, 5 × f ' ( 3 )     Donc     f ( 3 , 5 ) ≈ 1 + 0,5 × ( − 2 )  c-à-d  f( 3,5) ≈  0 

  f ' ( 3 , 5 ) = −  2 × 3,5 + 4 = - 3

  f( 4 ) = f( 3,5 + 0,5 ) ≈ f( 3,5 ) + 0,5 × f ' ( 3,5 ) ≈ 0 + 0,5 × ( −3 )   c-à-d  f( 4 ) ≈  − 1 , 5

  f ' ( 4 ) = − 2 × 4 + 4 = − 4 

     2. Graphique.

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        3. Directement  obtention de f:

               On a :                      f '( x ) = − 2 x + 4      pour tout réel x et   f ( 1 ) =0

            Cherchons une fonction   f définie et dérivable dans IR telle que f ' : x → − 2 x + 4

                   ( On dit qu'on cherche une primitive de  f ' sur  IR )

          On peut penser à la fonction   x → − x2  + 4 x  + C      où C est une constante.

            Déterminons la constante pour que cette fonction s'annule en x = 1.

             Imposons pour cela :         − 12 + 4 × 1 + C = 0   

                         c-à-d         3 + C = 0

                         c-à-d     C = − 3

            Conclusion:

                      On peut donc dire que  f : x →  − x2  + 4 x  − 3 

          On peut donc tracer la vraie courbe de f dans le même graphique.

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